Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13190 / 6525
↖ ↑ ↗
← N 34.361576°
E109.819336°		 ← 2 016.91 m → N 34.361576°
E109.841309°		 →
↑
2 017.06 m
↓
↑
2 017.06 m
↓
N 34.343436°
E109.819336°		 ← 2 017.34 m →
4 068 661 m²		 N 34.343436°
E109.841309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805084228515625 y=0.398284912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805084228515625 × 214)
    floor (0.805084228515625 × 16384)
    floor (13190.5)     		tx = 13190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398284912109375 × 214)
    floor (0.398284912109375 × 16384)
    floor (6525.5)     		ty = 6525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13190 / 6525 ti = "14/13190/6525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13190/6525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13190 ÷ 214
    13190 ÷ 16384     		x = 0.8050537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6525 ÷ 214
    6525 ÷ 16384     		y = 0.39825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8050537109375 × 2 - 1) × π
    0.610107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.91670899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39825439453125 × 2 - 1) × π
    0.2034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.639286493333069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91670899} λ = 1.91670899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639286493333069))-π/2
    2×atan(1.89512821018047)-π/2
    2×1.08525948458581-π/2
    2.17051896917162-1.57079632675     		φ = 0.59972264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91670899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.819336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59972264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.361576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13190 KachelY 6525 1.91670899 0.59972264 109.819336 34.361576
    Oben rechts KachelX + 1 13191 KachelY 6525 1.91709249 0.59972264 109.841309 34.361576
    Unten links KachelX 13190 KachelY + 1 6526 1.91670899 0.59940604 109.819336 34.343436
    Unten rechts KachelX + 1 13191 KachelY + 1 6526 1.91709249 0.59940604 109.841309 34.343436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59972264-0.59940604) × R
    0.0003166 × 6371000     		dl = 2017.0586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59972264-0.59940604) × R
    0.0003166 × 6371000     		dr = 2017.0586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91670899-1.91709249) × cos(0.59972264) × R
    0.00038349999999987 × 0.825492192398147 × 6371000     		do = 2016.90732560357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91670899-1.91709249) × cos(0.59940604) × R
    0.00038349999999987 × 0.825670844349012 × 6371000     		du = 2017.3438220741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59972264)-sin(0.59940604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825492192398147-0.825670844349012)×R²
    abs(1.91709249-1.91670899)×0.000178651950864417×R²
    0.00038349999999987×0.000178651950864417×6371000²
    0.00038349999999987×0.000178651950864417×40589641000000     		ar = 4068660.51997584m²