Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13188 / 6524
↖ ↑ ↗
← N 34.379713°
E109.775390°		 ← 2 016.47 m → N 34.379713°
E109.797363°		 →
↑
2 016.68 m
↓
↑
2 016.68 m
↓
N 34.361576°
E109.775390°		 ← 2 016.91 m →
4 067 009 m²		 N 34.361576°
E109.797363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804962158203125 y=0.398223876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804962158203125 × 214)
    floor (0.804962158203125 × 16384)
    floor (13188.5)     		tx = 13188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398223876953125 × 214)
    floor (0.398223876953125 × 16384)
    floor (6524.5)     		ty = 6524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13188 / 6524 ti = "14/13188/6524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13188/6524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13188 ÷ 214
    13188 ÷ 16384     		x = 0.804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6524 ÷ 214
    6524 ÷ 16384     		y = 0.398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804931640625 × 2 - 1) × π
    0.60986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91594200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398193359375 × 2 - 1) × π
    0.20361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.639669988530029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91594200} λ = 1.91594200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639669988530029))-π/2
    2×atan(1.8958551221214)-π/2
    2×1.08541775359909-π/2
    2.17083550719819-1.57079632675     		φ = 0.60003918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91594200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.775390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60003918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.379713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13188 KachelY 6524 1.91594200 0.60003918 109.775390 34.379713
    Oben rechts KachelX + 1 13189 KachelY 6524 1.91632550 0.60003918 109.797363 34.379713
    Unten links KachelX 13188 KachelY + 1 6525 1.91594200 0.59972264 109.775390 34.361576
    Unten rechts KachelX + 1 13189 KachelY + 1 6525 1.91632550 0.59972264 109.797363 34.361576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60003918-0.59972264) × R
    0.000316540000000032 × 6371000     		dl = 2016.6763400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60003918-0.59972264) × R
    0.000316540000000032 × 6371000     		dr = 2016.6763400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91594200-1.91632550) × cos(0.60003918) × R
    0.00038349999999987 × 0.825313491584101 × 6371000     		do = 2016.47070974668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91594200-1.91632550) × cos(0.59972264) × R
    0.00038349999999987 × 0.825492192398147 × 6371000     		du = 2016.90732560357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60003918)-sin(0.59972264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825313491584101-0.825492192398147)×R²
    abs(1.91632550-1.91594200)×0.000178700814045918×R²
    0.00038349999999987×0.000178700814045918×6371000²
    0.00038349999999987×0.000178700814045918×40589641000000     		ar = 4067009.06104196m²