Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13186 / 2943
↖ ↑ ↗
← N 81.309981°
W 35.134277°		 ← 184.58 m → N 81.309981°
W 35.123291°		 →
↑
184.57 m
↓
↑
184.57 m
↓
N 81.308321°
W 35.134277°		 ← 184.61 m →
34 070 m²		 N 81.308321°
W 35.123291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402420043945312 y=0.0898284912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402420043945312 × 215)
    floor (0.402420043945312 × 32768)
    floor (13186.5)     		tx = 13186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0898284912109375 × 215)
    floor (0.0898284912109375 × 32768)
    floor (2943.5)     		ty = 2943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13186 / 2943 ti = "15/13186/2943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13186/2943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13186 ÷ 215
    13186 ÷ 32768     		x = 0.40240478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2943 ÷ 215
    2943 ÷ 32768     		y = 0.089813232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61320882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089813232421875 × 2 - 1) × π
    0.82037353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5772794711727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61320882} λ = -0.61320882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5772794711727))-π/2
    2×atan(13.1612837584372)-π/2
    2×1.49496160469605-π/2
    2.98992320939211-1.57079632675     		φ = 1.41912688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61320882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.134277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41912688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.309981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13186 KachelY 2943 -0.61320882 1.41912688 -35.134277 81.309981
    Oben rechts KachelX + 1 13187 KachelY 2943 -0.61301707 1.41912688 -35.123291 81.309981
    Unten links KachelX 13186 KachelY + 1 2944 -0.61320882 1.41909791 -35.134277 81.308321
    Unten rechts KachelX + 1 13187 KachelY + 1 2944 -0.61301707 1.41909791 -35.123291 81.308321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41912688-1.41909791) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dl = 184.567870000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41912688-1.41909791) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dr = 184.567870000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61320882--0.61301707) × cos(1.41912688) × R
    0.000191749999999935 × 0.151088624167862 × 6371000     		do = 184.575793511896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61320882--0.61301707) × cos(1.41909791) × R
    0.000191749999999935 × 0.151117261535263 × 6371000     		du = 184.61077804393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41912688)-sin(1.41909791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151088624167862-0.151117261535263)×R²
    abs(-0.61301707--0.61320882)×2.86373674016904e-05×R²
    0.000191749999999935×2.86373674016904e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.86373674016904e-05×40589641000000     		ar = 34069.9895752825m²