Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13185 / 12150
↖ ↑ ↗
← S 65.275093°
E109.709473°		 ← 1 021.90 m → S 65.275093°
E109.731445°		 →
↑
1 021.78 m
↓
↑
1 021.78 m
↓
S 65.284283°
E109.709473°		 ← 1 021.55 m →
1 043 980 m²		 S 65.284283°
E109.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804779052734375 y=0.741607666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804779052734375 × 214)
    floor (0.804779052734375 × 16384)
    floor (13185.5)     		tx = 13185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741607666015625 × 214)
    floor (0.741607666015625 × 16384)
    floor (12150.5)     		ty = 12150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13185 / 12150 ti = "14/13185/12150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13185/12150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13185 ÷ 214
    13185 ÷ 16384     		x = 0.80474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12150 ÷ 214
    12150 ÷ 16384     		y = 0.7415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80474853515625 × 2 - 1) × π
    0.6094970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91479152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51787398956946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91479152} λ = 1.91479152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51787398956946))-π/2
    2×atan(0.219177365335781)-π/2
    2×0.215765512409514-π/2
    0.431531024819028-1.57079632675     		φ = -1.13926530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91479152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.709473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13926530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.275093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13185 KachelY 12150 1.91479152 -1.13926530 109.709473 -65.275093
    Oben rechts KachelX + 1 13186 KachelY 12150 1.91517501 -1.13926530 109.731445 -65.275093
    Unten links KachelX 13185 KachelY + 1 12151 1.91479152 -1.13942568 109.709473 -65.284283
    Unten rechts KachelX + 1 13186 KachelY + 1 12151 1.91517501 -1.13942568 109.731445 -65.284283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13926530--1.13942568) × R
    0.000160380000000071 × 6371000     		dl = 1021.78098000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13926530--1.13942568) × R
    0.000160380000000071 × 6371000     		dr = 1021.78098000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91479152-1.91517501) × cos(-1.13926530) × R
    0.000383489999999931 × 0.418261964222467 × 6371000     		do = 1021.9038170826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91479152-1.91517501) × cos(-1.13942568) × R
    0.000383489999999931 × 0.418116281448753 × 6371000     		du = 1021.54788277521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13926530)-sin(-1.13942568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418261964222467-0.418116281448753)×R²
    abs(1.91517501-1.91479152)×0.000145682773714573×R²
    0.000383489999999931×0.000145682773714573×6371000²
    0.000383489999999931×0.000145682773714573×40589641000000     		ar = 1043980.04247064m²