Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13184 / 6528
↖ ↑ ↗
← N 34.307144°
E109.687500°		 ← 2 018.22 m → N 34.307144°
E109.709473°		 →
↑
2 018.40 m
↓
↑
2 018.40 m
↓
N 34.288992°
E109.687500°		 ← 2 018.65 m →
4 074 001 m²		 N 34.288992°
E109.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804718017578125 y=0.398468017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804718017578125 × 214)
    floor (0.804718017578125 × 16384)
    floor (13184.5)     		tx = 13184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398468017578125 × 214)
    floor (0.398468017578125 × 16384)
    floor (6528.5)     		ty = 6528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13184 / 6528 ti = "14/13184/6528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13184/6528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13184 ÷ 214
    13184 ÷ 16384     		x = 0.8046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6528 ÷ 214
    6528 ÷ 16384     		y = 0.3984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8046875 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3984375 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91440802} λ = 1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.638136007742187))-π/2
    2×atan(1.89294914621298)-π/2
    2×1.0847844720137-π/2
    2.1695689440274-1.57079632675     		φ = 0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13184 KachelY 6528 1.91440802 0.59877262 109.687500 34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 13185 KachelY 6528 1.91479152 0.59877262 109.709473 34.307144
    Unten links KachelX 13184 KachelY + 1 6529 1.91440802 0.59845581 109.687500 34.288992
    Unten rechts KachelX + 1 13185 KachelY + 1 6529 1.91479152 0.59845581 109.709473 34.288992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59877262-0.59845581) × R
    0.000316809999999945 × 6371000     		dl = 2018.39650999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59877262-0.59845581) × R
    0.000316809999999945 × 6371000     		dr = 2018.39650999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91440802-1.91479152) × cos(0.59877262) × R
    0.000383500000000092 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 2018.21651130649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91440802-1.91479152) × cos(0.59845581) × R
    0.000383500000000092 × 0.826206545808571 × 6371000     		du = 2018.65268993383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59877262)-sin(0.59845581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.826206545808571)×R²
    abs(1.91479152-1.91440802)×0.000178521862055359×R²
    0.000383500000000092×0.000178521862055359×6371000²
    0.000383500000000092×0.000178521862055359×40589641000000     		ar = 4074001.38762928m²