Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13181 / 2931
↖ ↑ ↗
← N 81.329877°
W 35.189209°		 ← 184.16 m → N 81.329877°
W 35.178223°		 →
↑
184.19 m
↓
↑
184.19 m
↓
N 81.328221°
W 35.189209°		 ← 184.19 m →
33 922 m²		 N 81.328221°
W 35.178223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402267456054688 y=0.0894622802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402267456054688 × 215)
    floor (0.402267456054688 × 32768)
    floor (13181.5)     		tx = 13181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0894622802734375 × 215)
    floor (0.0894622802734375 × 32768)
    floor (2931.5)     		ty = 2931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13181 / 2931 ti = "15/13181/2931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13181/2931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13181 ÷ 215
    13181 ÷ 32768     		x = 0.402252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2931 ÷ 215
    2931 ÷ 32768     		y = 0.089447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.19549560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61416756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089447021484375 × 2 - 1) × π
    0.82110595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57958044235446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61416756} λ = -0.61416756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57958044235446))-π/2
    2×atan(13.1916023608188)-π/2
    2×1.49513523243674-π/2
    2.99027046487349-1.57079632675     		φ = 1.41947414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61416756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.189209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41947414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.329877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13181 KachelY 2931 -0.61416756 1.41947414 -35.189209 81.329877
    Oben rechts KachelX + 1 13182 KachelY 2931 -0.61397581 1.41947414 -35.178223 81.329877
    Unten links KachelX 13181 KachelY + 1 2932 -0.61416756 1.41944523 -35.189209 81.328221
    Unten rechts KachelX + 1 13182 KachelY + 1 2932 -0.61397581 1.41944523 -35.178223 81.328221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41947414-1.41944523) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dl = 184.185609999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41947414-1.41944523) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dr = 184.185609999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61416756--0.61397581) × cos(1.41947414) × R
    0.000191749999999935 × 0.150745341532909 × 6371000     		do = 184.156425971194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61416756--0.61397581) × cos(1.41944523) × R
    0.000191749999999935 × 0.150773921104602 × 6371000     		du = 184.191339897722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41947414)-sin(1.41944523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150745341532909-0.150773921104602)×R²
    abs(-0.61397581--0.61416756)×2.85795716930548e-05×R²
    0.000191749999999935×2.85795716930548e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.85795716930548e-05×40589641000000     		ar = 33922.1789765786m²