Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13180 / 25580
↖ ↑ ↗
← S 70.539543°
W 35.200196°		 ← 407 m → S 70.539543°
W 35.189209°		 →
↑
406.98 m
↓
↑
406.98 m
↓
S 70.543203°
W 35.200196°		 ← 406.92 m →
165 624 m²		 S 70.543203°
W 35.189209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402236938476562 y=0.780654907226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402236938476562 × 215)
    floor (0.402236938476562 × 32768)
    floor (13180.5)     		tx = 13180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780654907226562 × 215)
    floor (0.780654907226562 × 32768)
    floor (25580.5)     		ty = 25580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13180 / 25580 ti = "15/13180/25580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13180/25580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13180 ÷ 215
    13180 ÷ 32768     		x = 0.4022216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25580 ÷ 215
    25580 ÷ 32768     		y = 0.7806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61435931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76331091562415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61435931} λ = -0.61435931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76331091562415))-π/2
    2×atan(0.171476179747361)-π/2
    2×0.169824522761433-π/2
    0.339649045522865-1.57079632675     		φ = -1.23114728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61435931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.200196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23114728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.539543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13180 KachelY 25580 -0.61435931 -1.23114728 -35.200196 -70.539543
    Oben rechts KachelX + 1 13181 KachelY 25580 -0.61416756 -1.23114728 -35.189209 -70.539543
    Unten links KachelX 13180 KachelY + 1 25581 -0.61435931 -1.23121116 -35.200196 -70.543203
    Unten rechts KachelX + 1 13181 KachelY + 1 25581 -0.61416756 -1.23121116 -35.189209 -70.543203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23114728--1.23121116) × R
    6.38799999999051e-05 × 6371000     		dl = 406.979479999396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23114728--1.23121116) × R
    6.38799999999051e-05 × 6371000     		dr = 406.979479999396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61435931--0.61416756) × cos(-1.23114728) × R
    0.000191750000000046 × 0.333156208838619 × 6371000     		do = 406.996701098551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61435931--0.61416756) × cos(-1.23121116) × R
    0.000191750000000046 × 0.333095977518176 × 6371000     		du = 406.92312015342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23114728)-sin(-1.23121116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333156208838619-0.333095977518176)×R²
    abs(-0.61416756--0.61435931)×6.02313204423055e-05×R²
    0.000191750000000046×6.02313204423055e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.02313204423055e-05×40589641000000     		ar = 165624.332863806m²