Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13175 / 25543
↖ ↑ ↗
← S 70.403663°
W 35.255127°		 ← 409.71 m → S 70.403663°
W 35.244141°		 →
↑
409.66 m
↓
↑
409.66 m
↓
S 70.407347°
W 35.255127°		 ← 409.63 m →
167 823 m²		 S 70.407347°
W 35.244141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402084350585938 y=0.779525756835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402084350585938 × 215)
    floor (0.402084350585938 × 32768)
    floor (13175.5)     		tx = 13175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779525756835938 × 215)
    floor (0.779525756835938 × 32768)
    floor (25543.5)     		ty = 25543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13175 / 25543 ti = "15/13175/25543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13175/25543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13175 ÷ 215
    13175 ÷ 32768     		x = 0.402069091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25543 ÷ 215
    25543 ÷ 32768     		y = 0.779510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.19586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61531804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779510498046875 × 2 - 1) × π
    -0.55902099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75621625448038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61531804} λ = -0.61531804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75621625448038))-π/2
    2×atan(0.172697070920434)-π/2
    2×0.171010298471587-π/2
    0.342020596943173-1.57079632675     		φ = -1.22877573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61531804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.255127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22877573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.403663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13175 KachelY 25543 -0.61531804 -1.22877573 -35.255127 -70.403663
    Oben rechts KachelX + 1 13176 KachelY 25543 -0.61512630 -1.22877573 -35.244141 -70.403663
    Unten links KachelX 13175 KachelY + 1 25544 -0.61531804 -1.22884003 -35.255127 -70.407347
    Unten rechts KachelX + 1 13176 KachelY + 1 25544 -0.61512630 -1.22884003 -35.244141 -70.407347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22877573--1.22884003) × R
    6.43000000000171e-05 × 6371000     		dl = 409.655300000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22877573--1.22884003) × R
    6.43000000000171e-05 × 6371000     		dr = 409.655300000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61531804--0.61512630) × cos(-1.22877573) × R
    0.000191739999999996 × 0.335391337117892 × 6371000     		do = 409.705853751102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61531804--0.61512630) × cos(-1.22884003) × R
    0.000191739999999996 × 0.335330760751424 × 6371000     		du = 409.631855143523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22877573)-sin(-1.22884003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335391337117892-0.335330760751424)×R²
    abs(-0.61512630--0.61531804)×6.05763664674464e-05×R²
    0.000191739999999996×6.05763664674464e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.05763664674464e-05×40589641000000     		ar = 167823.017527033m²