Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13173 / 25514
↖ ↑ ↗
← S 70.296526°
W 35.277100°		 ← 411.88 m → S 70.296526°
W 35.266113°		 →
↑
411.89 m
↓
↑
411.89 m
↓
S 70.300230°
W 35.277100°		 ← 411.80 m →
169 631 m²		 S 70.300230°
W 35.266113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402023315429688 y=0.778640747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402023315429688 × 215)
    floor (0.402023315429688 × 32768)
    floor (13173.5)     		tx = 13173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778640747070312 × 215)
    floor (0.778640747070312 × 32768)
    floor (25514.5)     		ty = 25514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13173 / 25514 ti = "15/13173/25514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13173/25514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13173 ÷ 215
    13173 ÷ 32768     		x = 0.402008056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25514 ÷ 215
    25514 ÷ 32768     		y = 0.77862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402008056640625 × 2 - 1) × π
    -0.19598388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61570154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.5572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75065557412445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61570154} λ = -0.61570154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75065557412445))-π/2
    2×atan(0.173660059083516)-π/2
    2×0.171945246710804-π/2
    0.343890493421607-1.57079632675     		φ = -1.22690583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61570154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.277100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22690583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.296526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13173 KachelY 25514 -0.61570154 -1.22690583 -35.277100 -70.296526
    Oben rechts KachelX + 1 13174 KachelY 25514 -0.61550979 -1.22690583 -35.266113 -70.296526
    Unten links KachelX 13173 KachelY + 1 25515 -0.61570154 -1.22697048 -35.277100 -70.300230
    Unten rechts KachelX + 1 13174 KachelY + 1 25515 -0.61550979 -1.22697048 -35.266113 -70.300230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22690583--1.22697048) × R
    6.46500000001105e-05 × 6371000     		dl = 411.885150000704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22690583--1.22697048) × R
    6.46500000001105e-05 × 6371000     		dr = 411.885150000704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61570154--0.61550979) × cos(-1.22690583) × R
    0.000191750000000046 × 0.337152343071512 × 6371000     		do = 411.878535525724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61570154--0.61550979) × cos(-1.22697048) × R
    0.000191750000000046 × 0.337091477617772 × 6371000     		du = 411.804179898466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22690583)-sin(-1.22697048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337152343071512-0.337091477617772)×R²
    abs(-0.61550979--0.61570154)×6.08654537399556e-05×R²
    0.000191750000000046×6.08654537399556e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.08654537399556e-05×40589641000000     		ar = 169631.339457082m²