Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13173 / 25511
↖ ↑ ↗
← S 70.285411°
W 35.277100°		 ← 412.10 m → S 70.285411°
W 35.266113°		 →
↑
412.01 m
↓
↑
412.01 m
↓
S 70.289116°
W 35.277100°		 ← 412.03 m →
169 776 m²		 S 70.289116°
W 35.266113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402023315429688 y=0.778549194335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402023315429688 × 215)
    floor (0.402023315429688 × 32768)
    floor (13173.5)     		tx = 13173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778549194335938 × 215)
    floor (0.778549194335938 × 32768)
    floor (25511.5)     		ty = 25511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13173 / 25511 ti = "15/13173/25511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13173/25511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13173 ÷ 215
    13173 ÷ 32768     		x = 0.402008056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25511 ÷ 215
    25511 ÷ 32768     		y = 0.778533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402008056640625 × 2 - 1) × π
    -0.19598388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61570154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778533935546875 × 2 - 1) × π
    -0.55706787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75008033132901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61570154} λ = -0.61570154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75008033132901))-π/2
    2×atan(0.173759984519298)-π/2
    2×0.172042245200437-π/2
    0.344084490400875-1.57079632675     		φ = -1.22671184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61570154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.277100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22671184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.285411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13173 KachelY 25511 -0.61570154 -1.22671184 -35.277100 -70.285411
    Oben rechts KachelX + 1 13174 KachelY 25511 -0.61550979 -1.22671184 -35.266113 -70.285411
    Unten links KachelX 13173 KachelY + 1 25512 -0.61570154 -1.22677651 -35.277100 -70.289116
    Unten rechts KachelX + 1 13174 KachelY + 1 25512 -0.61550979 -1.22677651 -35.266113 -70.289116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22671184--1.22677651) × R
    6.46699999999889e-05 × 6371000     		dl = 412.012569999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22671184--1.22677651) × R
    6.46699999999889e-05 × 6371000     		dr = 412.012569999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61570154--0.61550979) × cos(-1.22671184) × R
    0.000191750000000046 × 0.337334968632085 × 6371000     		do = 412.101638078572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61570154--0.61550979) × cos(-1.22677651) × R
    0.000191750000000046 × 0.337274088579359 × 6371000     		du = 412.02726461662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22671184)-sin(-1.22677651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337334968632085-0.337274088579359)×R²
    abs(-0.61550979--0.61570154)×6.08800527256981e-05×R²
    0.000191750000000046×6.08800527256981e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.08800527256981e-05×40589641000000     		ar = 169775.733664536m²