Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13172 / 25509
↖ ↑ ↗
← S 70.277998°
W 35.288086°		 ← 412.25 m → S 70.277998°
W 35.277100°		 →
↑
412.20 m
↓
↑
412.20 m
↓
S 70.281705°
W 35.288086°		 ← 412.18 m →
169 916 m²		 S 70.281705°
W 35.277100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401992797851562 y=0.778488159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401992797851562 × 215)
    floor (0.401992797851562 × 32768)
    floor (13172.5)     		tx = 13172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778488159179688 × 215)
    floor (0.778488159179688 × 32768)
    floor (25509.5)     		ty = 25509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13172 / 25509 ti = "15/13172/25509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13172/25509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13172 ÷ 215
    13172 ÷ 32768     		x = 0.4019775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25509 ÷ 215
    25509 ÷ 32768     		y = 0.778472900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.196044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61589329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.55694580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74969683613205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61589329} λ = -0.61589329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74969683613205))-π/2
    2×atan(0.173826633417734)-π/2
    2×0.172106940048278-π/2
    0.344213880096555-1.57079632675     		φ = -1.22658245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61589329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.288086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22658245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.277998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13172 KachelY 25509 -0.61589329 -1.22658245 -35.288086 -70.277998
    Oben rechts KachelX + 1 13173 KachelY 25509 -0.61570154 -1.22658245 -35.277100 -70.277998
    Unten links KachelX 13172 KachelY + 1 25510 -0.61589329 -1.22664715 -35.288086 -70.281705
    Unten rechts KachelX + 1 13173 KachelY + 1 25510 -0.61570154 -1.22664715 -35.277100 -70.281705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22658245--1.22664715) × R
    6.47000000000286e-05 × 6371000     		dl = 412.203700000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22658245--1.22664715) × R
    6.47000000000286e-05 × 6371000     		dr = 412.203700000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61589329--0.61570154) × cos(-1.22658245) × R
    0.000191750000000046 × 0.337456771571917 × 6371000     		do = 412.250437330637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61589329--0.61570154) × cos(-1.22664715) × R
    0.000191750000000046 × 0.337395866101262 × 6371000     		du = 412.176032817145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22658245)-sin(-1.22664715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337456771571917-0.337395866101262)×R²
    abs(-0.61570154--0.61589329)×6.09054706550149e-05×R²
    0.000191750000000046×6.09054706550149e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.09054706550149e-05×40589641000000     		ar = 169915.82074622m²