Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13166 / 25626
↖ ↑ ↗
← S 70.707212°
W 35.354004°		 ← 403.62 m → S 70.707212°
W 35.343017°		 →
↑
403.60 m
↓
↑
403.60 m
↓
S 70.710842°
W 35.354004°		 ← 403.55 m →
162 889 m²		 S 70.710842°
W 35.343017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401809692382812 y=0.782058715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401809692382812 × 215)
    floor (0.401809692382812 × 32768)
    floor (13166.5)     		tx = 13166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782058715820312 × 215)
    floor (0.782058715820312 × 32768)
    floor (25626.5)     		ty = 25626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13166 / 25626 ti = "15/13166/25626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13166/25626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13166 ÷ 215
    13166 ÷ 32768     		x = 0.40179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25626 ÷ 215
    25626 ÷ 32768     		y = 0.78204345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.1964111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61704377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78204345703125 × 2 - 1) × π
    -0.5640869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77213130515424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61704377} λ = -0.61704377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77213130515424))-π/2
    2×atan(0.169970343839229)-π/2
    2×0.16836133383518-π/2
    0.336722667670359-1.57079632675     		φ = -1.23407366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61704377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.354004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23407366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.707212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13166 KachelY 25626 -0.61704377 -1.23407366 -35.354004 -70.707212
    Oben rechts KachelX + 1 13167 KachelY 25626 -0.61685202 -1.23407366 -35.343017 -70.707212
    Unten links KachelX 13166 KachelY + 1 25627 -0.61704377 -1.23413701 -35.354004 -70.710842
    Unten rechts KachelX + 1 13167 KachelY + 1 25627 -0.61685202 -1.23413701 -35.343017 -70.710842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23407366--1.23413701) × R
    6.33500000000176e-05 × 6371000     		dl = 403.602850000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23407366--1.23413701) × R
    6.33500000000176e-05 × 6371000     		dr = 403.602850000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61704377--0.61685202) × cos(-1.23407366) × R
    0.000191750000000046 × 0.330395585525972 × 6371000     		do = 403.624215305356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61704377--0.61685202) × cos(-1.23413701) × R
    0.000191750000000046 × 0.330335792437566 × 6371000     		du = 403.55116972168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23407366)-sin(-1.23413701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330395585525972-0.330335792437566)×R²
    abs(-0.61685202--0.61704377)×5.97930884066455e-05×R²
    0.000191750000000046×5.97930884066455e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.97930884066455e-05×40589641000000     		ar = 162889.142978045m²