Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13162 / 25597
↖ ↑ ↗
← S 70.601671°
W 35.397949°		 ← 405.75 m → S 70.601671°
W 35.386963°		 →
↑
405.71 m
↓
↑
405.71 m
↓
S 70.605319°
W 35.397949°		 ← 405.67 m →
164 599 m²		 S 70.605319°
W 35.386963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401687622070312 y=0.781173706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401687622070312 × 215)
    floor (0.401687622070312 × 32768)
    floor (13162.5)     		tx = 13162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781173706054688 × 215)
    floor (0.781173706054688 × 32768)
    floor (25597.5)     		ty = 25597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13162 / 25597 ti = "15/13162/25597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13162/25597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13162 ÷ 215
    13162 ÷ 32768     		x = 0.40167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25597 ÷ 215
    25597 ÷ 32768     		y = 0.781158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61781076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.56231689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76657062479831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61781076} λ = -0.61781076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76657062479831))-π/2
    2×atan(0.170918127309555)-π/2
    2×0.169282360286227-π/2
    0.338564720572455-1.57079632675     		φ = -1.23223161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61781076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.397949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23223161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.601671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13162 KachelY 25597 -0.61781076 -1.23223161 -35.397949 -70.601671
    Oben rechts KachelX + 1 13163 KachelY 25597 -0.61761901 -1.23223161 -35.386963 -70.601671
    Unten links KachelX 13162 KachelY + 1 25598 -0.61781076 -1.23229529 -35.397949 -70.605319
    Unten rechts KachelX + 1 13163 KachelY + 1 25598 -0.61761901 -1.23229529 -35.386963 -70.605319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23223161--1.23229529) × R
    6.36800000000104e-05 × 6371000     		dl = 405.705280000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23223161--1.23229529) × R
    6.36800000000104e-05 × 6371000     		dr = 405.705280000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61781076--0.61761901) × cos(-1.23223161) × R
    0.000191750000000046 × 0.332133629169466 × 6371000     		do = 405.747477638463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61781076--0.61761901) × cos(-1.23229529) × R
    0.000191750000000046 × 0.332073563460497 × 6371000     		du = 405.674099010807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23223161)-sin(-1.23229529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332133629169466-0.332073563460497)×R²
    abs(-0.61761901--0.61781076)×6.00657089691592e-05×R²
    0.000191750000000046×6.00657089691592e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.00657089691592e-05×40589641000000     		ar = 164599.009031971m²