Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13162 / 25591
↖ ↑ ↗
← S 70.579765°
W 35.397949°		 ← 406.19 m → S 70.579765°
W 35.386963°		 →
↑
406.15 m
↓
↑
406.15 m
↓
S 70.583417°
W 35.397949°		 ← 406.11 m →
164 959 m²		 S 70.583417°
W 35.386963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401687622070312 y=0.780990600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401687622070312 × 215)
    floor (0.401687622070312 × 32768)
    floor (13162.5)     		tx = 13162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780990600585938 × 215)
    floor (0.780990600585938 × 32768)
    floor (25591.5)     		ty = 25591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13162 / 25591 ti = "15/13162/25591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13162/25591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13162 ÷ 215
    13162 ÷ 32768     		x = 0.40167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25591 ÷ 215
    25591 ÷ 32768     		y = 0.780975341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61781076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780975341796875 × 2 - 1) × π
    -0.56195068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76542013920743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61781076} λ = -0.61781076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76542013920743))-π/2
    2×atan(0.171114879310714)-π/2
    2×0.169473521463854-π/2
    0.338947042927708-1.57079632675     		φ = -1.23184928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61781076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.397949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23184928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.579765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13162 KachelY 25591 -0.61781076 -1.23184928 -35.397949 -70.579765
    Oben rechts KachelX + 1 13163 KachelY 25591 -0.61761901 -1.23184928 -35.386963 -70.579765
    Unten links KachelX 13162 KachelY + 1 25592 -0.61781076 -1.23191303 -35.397949 -70.583417
    Unten rechts KachelX + 1 13163 KachelY + 1 25592 -0.61761901 -1.23191303 -35.386963 -70.583417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23184928--1.23191303) × R
    6.37500000000291e-05 × 6371000     		dl = 406.151250000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23184928--1.23191303) × R
    6.37500000000291e-05 × 6371000     		dr = 406.151250000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61781076--0.61761901) × cos(-1.23184928) × R
    0.000191750000000046 × 0.332494230907257 × 6371000     		do = 406.188002874965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61781076--0.61761901) × cos(-1.23191303) × R
    0.000191750000000046 × 0.332434107269476 × 6371000     		du = 406.114553479199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23184928)-sin(-1.23191303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332494230907257-0.332434107269476)×R²
    abs(-0.61761901--0.61781076)×6.01236377809622e-05×R²
    0.000191750000000046×6.01236377809622e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.01236377809622e-05×40589641000000     		ar = 164958.849376366m²