Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13160 / 25617
↖ ↑ ↗
← S 70.674517°
W 35.419922°		 ← 404.28 m → S 70.674517°
W 35.408936°		 →
↑
404.24 m
↓
↑
404.24 m
↓
S 70.678152°
W 35.419922°		 ← 404.21 m →
163 412 m²		 S 70.678152°
W 35.408936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401626586914062 y=0.781784057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401626586914062 × 215)
    floor (0.401626586914062 × 32768)
    floor (13160.5)     		tx = 13160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781784057617188 × 215)
    floor (0.781784057617188 × 32768)
    floor (25617.5)     		ty = 25617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13160 / 25617 ti = "15/13160/25617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13160/25617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13160 ÷ 215
    13160 ÷ 32768     		x = 0.401611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25617 ÷ 215
    25617 ÷ 32768     		y = 0.781768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401611328125 × 2 - 1) × π
    -0.19677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61819426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.56353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77040557676791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61819426} λ = -0.61819426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77040557676791))-π/2
    2×atan(0.17026391972969)-π/2
    2×0.168646652643578-π/2
    0.337293305287156-1.57079632675     		φ = -1.23350302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61819426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.419922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23350302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.674517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13160 KachelY 25617 -0.61819426 -1.23350302 -35.419922 -70.674517
    Oben rechts KachelX + 1 13161 KachelY 25617 -0.61800251 -1.23350302 -35.408936 -70.674517
    Unten links KachelX 13160 KachelY + 1 25618 -0.61819426 -1.23356647 -35.419922 -70.678152
    Unten rechts KachelX + 1 13161 KachelY + 1 25618 -0.61800251 -1.23356647 -35.408936 -70.678152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23350302--1.23356647) × R
    6.34500000000759e-05 × 6371000     		dl = 404.239950000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23350302--1.23356647) × R
    6.34500000000759e-05 × 6371000     		dr = 404.239950000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61819426--0.61800251) × cos(-1.23350302) × R
    0.000191750000000046 × 0.330934126015474 × 6371000     		do = 404.282117505046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61819426--0.61800251) × cos(-1.23356647) × R
    0.000191750000000046 × 0.330874250512052 × 6371000     		du = 404.208971239953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23350302)-sin(-1.23356647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330934126015474-0.330874250512052)×R²
    abs(-0.61800251--0.61819426)×5.98755034217358e-05×R²
    0.000191750000000046×5.98755034217358e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.98755034217358e-05×40589641000000     		ar = 163412.198700141m²