Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13159 / 25620
↖ ↑ ↗
← S 70.685422°
W 35.430908°		 ← 404.06 m → S 70.685422°
W 35.419922°		 →
↑
403.99 m
↓
↑
403.99 m
↓
S 70.689055°
W 35.430908°		 ← 403.99 m →
163 221 m²		 S 70.689055°
W 35.419922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401596069335938 y=0.781875610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401596069335938 × 215)
    floor (0.401596069335938 × 32768)
    floor (13159.5)     		tx = 13159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781875610351562 × 215)
    floor (0.781875610351562 × 32768)
    floor (25620.5)     		ty = 25620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13159 / 25620 ti = "15/13159/25620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13159/25620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13159 ÷ 215
    13159 ÷ 32768     		x = 0.401580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25620 ÷ 215
    25620 ÷ 32768     		y = 0.7818603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.19683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61838601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7818603515625 × 2 - 1) × π
    -0.563720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77098081956335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61838601} λ = -0.61838601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77098081956335))-π/2
    2×atan(0.17016600480167)-π/2
    2×0.168551494738308-π/2
    0.337102989476615-1.57079632675     		φ = -1.23369334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61838601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.430908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23369334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.685422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13159 KachelY 25620 -0.61838601 -1.23369334 -35.430908 -70.685422
    Oben rechts KachelX + 1 13160 KachelY 25620 -0.61819426 -1.23369334 -35.419922 -70.685422
    Unten links KachelX 13159 KachelY + 1 25621 -0.61838601 -1.23375675 -35.430908 -70.689055
    Unten rechts KachelX + 1 13160 KachelY + 1 25621 -0.61819426 -1.23375675 -35.419922 -70.689055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23369334--1.23375675) × R
    6.3409999999875e-05 × 6371000     		dl = 403.985109999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23369334--1.23375675) × R
    6.3409999999875e-05 × 6371000     		dr = 403.985109999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61838601--0.61819426) × cos(-1.23369334) × R
    0.000191750000000046 × 0.330754523820752 × 6371000     		do = 404.062708414588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61838601--0.61819426) × cos(-1.23375675) × R
    0.000191750000000046 × 0.330694682071993 × 6371000     		du = 403.989603385515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23369334)-sin(-1.23375675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330754523820752-0.330694682071993)×R²
    abs(-0.61819426--0.61838601)×5.98417487591707e-05×R²
    0.000191750000000046×5.98417487591707e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.98417487591707e-05×40589641000000     		ar = 163220.55108827m²