Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13158 / 25538
↖ ↑ ↗
← S 70.385231°
W 35.441894°		 ← 410.08 m → S 70.385231°
W 35.430908°		 →
↑
410.04 m
↓
↑
410.04 m
↓
S 70.388919°
W 35.441894°		 ← 410 m →
168 131 m²		 S 70.388919°
W 35.430908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401565551757812 y=0.779373168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401565551757812 × 215)
    floor (0.401565551757812 × 32768)
    floor (13158.5)     		tx = 13158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779373168945312 × 215)
    floor (0.779373168945312 × 32768)
    floor (25538.5)     		ty = 25538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13158 / 25538 ti = "15/13158/25538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13158/25538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13158 ÷ 215
    13158 ÷ 32768     		x = 0.40155029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25538 ÷ 215
    25538 ÷ 32768     		y = 0.77935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.1968994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61857775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.5587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75525751648798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61857775} λ = -0.61857775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75525751648798))-π/2
    2×atan(0.172862721558593)-π/2
    2×0.171171147306438-π/2
    0.342342294612876-1.57079632675     		φ = -1.22845403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61857775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.441894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22845403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.385231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13158 KachelY 25538 -0.61857775 -1.22845403 -35.441894 -70.385231
    Oben rechts KachelX + 1 13159 KachelY 25538 -0.61838601 -1.22845403 -35.430908 -70.385231
    Unten links KachelX 13158 KachelY + 1 25539 -0.61857775 -1.22851839 -35.441894 -70.388919
    Unten rechts KachelX + 1 13159 KachelY + 1 25539 -0.61838601 -1.22851839 -35.430908 -70.388919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22845403--1.22851839) × R
    6.43600000000966e-05 × 6371000     		dl = 410.037560000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22845403--1.22851839) × R
    6.43600000000966e-05 × 6371000     		dr = 410.037560000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61857775--0.61838601) × cos(-1.22845403) × R
    0.000191739999999996 × 0.335694386539336 × 6371000     		do = 410.076051511749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61857775--0.61838601) × cos(-1.22851839) × R
    0.000191739999999996 × 0.335633760593497 × 6371000     		du = 410.001992339223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22845403)-sin(-1.22851839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335694386539336-0.335633760593497)×R²
    abs(-0.61838601--0.61857775)×6.0625945838666e-05×R²
    0.000191739999999996×6.0625945838666e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.0625945838666e-05×40589641000000     		ar = 168131.40011395m²