Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13158 / 12506
↖ ↑ ↗
← S 68.350595°
E109.116211°		 ← 901.37 m → S 68.350595°
E109.138183°		 →
↑
901.18 m
↓
↑
901.18 m
↓
S 68.358699°
E109.116211°		 ← 901.04 m →
812 146 m²		 S 68.358699°
E109.138183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803131103515625 y=0.763336181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803131103515625 × 214)
    floor (0.803131103515625 × 16384)
    floor (13158.5)     		tx = 13158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763336181640625 × 214)
    floor (0.763336181640625 × 16384)
    floor (12506.5)     		ty = 12506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13158 / 12506 ti = "14/13158/12506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13158/12506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13158 ÷ 214
    13158 ÷ 16384     		x = 0.8031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12506 ÷ 214
    12506 ÷ 16384     		y = 0.7633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8031005859375 × 2 - 1) × π
    0.606201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90443715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.526611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65439827968738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90443715} λ = 1.90443715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65439827968738))-π/2
    2×atan(0.191207074277999)-π/2
    2×0.188926705322163-π/2
    0.377853410644325-1.57079632675     		φ = -1.19294292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90443715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.116211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19294292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.350595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13158 KachelY 12506 1.90443715 -1.19294292 109.116211 -68.350595
    Oben rechts KachelX + 1 13159 KachelY 12506 1.90482064 -1.19294292 109.138183 -68.350595
    Unten links KachelX 13158 KachelY + 1 12507 1.90443715 -1.19308437 109.116211 -68.358699
    Unten rechts KachelX + 1 13159 KachelY + 1 12507 1.90482064 -1.19308437 109.138183 -68.358699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19294292--1.19308437) × R
    0.000141450000000098 × 6371000     		dl = 901.177950000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19294292--1.19308437) × R
    0.000141450000000098 × 6371000     		dr = 901.177950000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90443715-1.90482064) × cos(-1.19294292) × R
    0.000383490000000153 × 0.368926151172458 × 6371000     		do = 901.365828962684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90443715-1.90482064) × cos(-1.19308437) × R
    0.000383490000000153 × 0.368794675547505 × 6371000     		du = 901.044605771275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19294292)-sin(-1.19308437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368926151172458-0.368794675547505)×R²
    abs(1.90482064-1.90443715)×0.000131475624952748×R²
    0.000383490000000153×0.000131475624952748×6371000²
    0.000383490000000153×0.000131475624952748×40589641000000     		ar = 812146.271670614m²