Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13157 / 12507
↖ ↑ ↗
← S 68.358699°
E109.094238°		 ← 901.07 m → S 68.358699°
E109.116211°		 →
↑
900.92 m
↓
↑
900.92 m
↓
S 68.366801°
E109.094238°		 ← 900.75 m →
811 648 m²		 S 68.366801°
E109.116211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803070068359375 y=0.763397216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803070068359375 × 214)
    floor (0.803070068359375 × 16384)
    floor (13157.5)     		tx = 13157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763397216796875 × 214)
    floor (0.763397216796875 × 16384)
    floor (12507.5)     		ty = 12507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13157 / 12507 ti = "14/13157/12507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13157/12507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13157 ÷ 214
    13157 ÷ 16384     		x = 0.80303955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12507 ÷ 214
    12507 ÷ 16384     		y = 0.76336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80303955078125 × 2 - 1) × π
    0.6060791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.90405365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.5267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65478177488434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90405365} λ = 1.90405365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65478177488434))-π/2
    2×atan(0.191133761341866)-π/2
    2×0.188855977224224-π/2
    0.377711954448447-1.57079632675     		φ = -1.19308437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90405365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.094238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19308437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.358699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13157 KachelY 12507 1.90405365 -1.19308437 109.094238 -68.358699
    Oben rechts KachelX + 1 13158 KachelY 12507 1.90443715 -1.19308437 109.116211 -68.358699
    Unten links KachelX 13157 KachelY + 1 12508 1.90405365 -1.19322578 109.094238 -68.366801
    Unten rechts KachelX + 1 13158 KachelY + 1 12508 1.90443715 -1.19322578 109.116211 -68.366801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19308437--1.19322578) × R
    0.000141409999999897 × 6371000     		dl = 900.923109999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19308437--1.19322578) × R
    0.000141409999999897 × 6371000     		dr = 900.923109999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90405365-1.90443715) × cos(-1.19308437) × R
    0.00038349999999987 × 0.368794675547505 × 6371000     		do = 901.068101679389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90405365-1.90443715) × cos(-1.19322578) × R
    0.00038349999999987 × 0.368663229726192 × 6371000     		du = 900.746942930261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19308437)-sin(-1.19322578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368794675547505-0.368663229726192)×R²
    abs(1.90443715-1.90405365)×0.000131445821312859×R²
    0.00038349999999987×0.000131445821312859×6371000²
    0.00038349999999987×0.000131445821312859×40589641000000     		ar = 811648.408169202m²