Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13156 / 12472
↖ ↑ ↗
← S 68.073305°
E109.072266°		 ← 912.35 m → S 68.073305°
E109.094238°		 →
↑
912.20 m
↓
↑
912.20 m
↓
S 68.081508°
E109.072266°		 ← 912.02 m →
832 093 m²		 S 68.081508°
E109.094238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803009033203125 y=0.761260986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803009033203125 × 214)
    floor (0.803009033203125 × 16384)
    floor (13156.5)     		tx = 13156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761260986328125 × 214)
    floor (0.761260986328125 × 16384)
    floor (12472.5)     		ty = 12472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13156 / 12472 ti = "14/13156/12472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13156/12472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13156 ÷ 214
    13156 ÷ 16384     		x = 0.802978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12472 ÷ 214
    12472 ÷ 16384     		y = 0.76123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802978515625 × 2 - 1) × π
    0.60595703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.90367016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76123046875 × 2 - 1) × π
    -0.5224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64135944299072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90367016} λ = 1.90367016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64135944299072))-π/2
    2×atan(0.193716516646689)-π/2
    2×0.19134651318608-π/2
    0.38269302637216-1.57079632675     		φ = -1.18810330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90367016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.072266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18810330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.073305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13156 KachelY 12472 1.90367016 -1.18810330 109.072266 -68.073305
    Oben rechts KachelX + 1 13157 KachelY 12472 1.90405365 -1.18810330 109.094238 -68.073305
    Unten links KachelX 13156 KachelY + 1 12473 1.90367016 -1.18824648 109.072266 -68.081508
    Unten rechts KachelX + 1 13157 KachelY + 1 12473 1.90405365 -1.18824648 109.094238 -68.081508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18810330--1.18824648) × R
    0.000143180000000021 × 6371000     		dl = 912.199780000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18810330--1.18824648) × R
    0.000143180000000021 × 6371000     		dr = 912.199780000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90367016-1.90405365) × cos(-1.18810330) × R
    0.000383490000000153 × 0.373420040107369 × 6371000     		do = 912.345364873081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90367016-1.90405365) × cos(-1.18824648) × R
    0.000383490000000153 × 0.373287213581963 × 6371000     		du = 912.020841141705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18810330)-sin(-1.18824648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373420040107369-0.373287213581963)×R²
    abs(1.90405365-1.90367016)×0.000132826525405805×R²
    0.000383490000000153×0.000132826525405805×6371000²
    0.000383490000000153×0.000132826525405805×40589641000000     		ar = 832093.227305439m²