Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13155 / 25623
↖ ↑ ↗
← S 70.696320°
W 35.474854°		 ← 403.84 m → S 70.696320°
W 35.463867°		 →
↑
403.79 m
↓
↑
403.79 m
↓
S 70.699951°
W 35.474854°		 ← 403.77 m →
163 055 m²		 S 70.699951°
W 35.463867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401473999023438 y=0.781967163085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401473999023438 × 215)
    floor (0.401473999023438 × 32768)
    floor (13155.5)     		tx = 13155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781967163085938 × 215)
    floor (0.781967163085938 × 32768)
    floor (25623.5)     		ty = 25623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13155 / 25623 ti = "15/13155/25623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13155/25623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13155 ÷ 215
    13155 ÷ 32768     		x = 0.401458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25623 ÷ 215
    25623 ÷ 32768     		y = 0.781951904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.19708251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61915300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781951904296875 × 2 - 1) × π
    -0.56390380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7715560623588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61915300} λ = -0.61915300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7715560623588))-π/2
    2×atan(0.17006814618231)-π/2
    2×0.168456388477038-π/2
    0.336912776954076-1.57079632675     		φ = -1.23388355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61915300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.474854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23388355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.696320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13155 KachelY 25623 -0.61915300 -1.23388355 -35.474854 -70.696320
    Oben rechts KachelX + 1 13156 KachelY 25623 -0.61896125 -1.23388355 -35.463867 -70.696320
    Unten links KachelX 13155 KachelY + 1 25624 -0.61915300 -1.23394693 -35.474854 -70.699951
    Unten rechts KachelX + 1 13156 KachelY + 1 25624 -0.61896125 -1.23394693 -35.463867 -70.699951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23388355--1.23394693) × R
    6.33800000000573e-05 × 6371000     		dl = 403.793980000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23388355--1.23394693) × R
    6.33800000000573e-05 × 6371000     		dr = 403.793980000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61915300--0.61896125) × cos(-1.23388355) × R
    0.000191749999999935 × 0.33057501346131 × 6371000     		do = 403.843411513478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61915300--0.61896125) × cos(-1.23394693) × R
    0.000191749999999935 × 0.330515196038713 × 6371000     		du = 403.770336202199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23388355)-sin(-1.23394693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33057501346131-0.330515196038713)×R²
    abs(-0.61896125--0.61915300)×5.98174225974191e-05×R²
    0.000191749999999935×5.98174225974191e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.98174225974191e-05×40589641000000     		ar = 163054.784800606m²