Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13153 / 6559
↖ ↑ ↗
← N 33.742613°
E109.006348°		 ← 2 031.69 m → N 33.742613°
E109.028320°		 →
↑
2 031.84 m
↓
↑
2 031.84 m
↓
N 33.724340°
E109.006348°		 ← 2 032.12 m →
4 128 501 m²		 N 33.724340°
E109.028320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802825927734375 y=0.400360107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802825927734375 × 214)
    floor (0.802825927734375 × 16384)
    floor (13153.5)     		tx = 13153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400360107421875 × 214)
    floor (0.400360107421875 × 16384)
    floor (6559.5)     		ty = 6559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13153 / 6559 ti = "14/13153/6559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13153/6559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13153 ÷ 214
    13153 ÷ 16384     		x = 0.80279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6559 ÷ 214
    6559 ÷ 16384     		y = 0.40032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80279541015625 × 2 - 1) × π
    0.6055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.90251967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40032958984375 × 2 - 1) × π
    0.1993408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.626247656636414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90251967} λ = 1.90251967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.626247656636414))-π/2
    2×atan(1.8705783416042)-π/2
    2×1.07985800898511-π/2
    2.15971601797022-1.57079632675     		φ = 0.58891969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90251967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58891969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.742613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13153 KachelY 6559 1.90251967 0.58891969 109.006348 33.742613
    Oben rechts KachelX + 1 13154 KachelY 6559 1.90290317 0.58891969 109.028320 33.742613
    Unten links KachelX 13153 KachelY + 1 6560 1.90251967 0.58860077 109.006348 33.724340
    Unten rechts KachelX + 1 13154 KachelY + 1 6560 1.90290317 0.58860077 109.028320 33.724340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58891969-0.58860077) × R
    0.00031892 × 6371000     		dl = 2031.83932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58891969-0.58860077) × R
    0.00031892 × 6371000     		dr = 2031.83932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90251967-1.90290317) × cos(0.58891969) × R
    0.000383500000000092 × 0.831541236477121 × 6371000     		do = 2031.68682494845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90251967-1.90290317) × cos(0.58860077) × R
    0.000383500000000092 × 0.831718342454006 × 6371000     		du = 2032.119544174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58891969)-sin(0.58860077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831541236477121-0.831718342454006)×R²
    abs(1.90290317-1.90251967)×0.000177105976884917×R²
    0.000383500000000092×0.000177105976884917×6371000²
    0.000383500000000092×0.000177105976884917×40589641000000     		ar = 4128500.8198174m²