Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13152 / 6562
↖ ↑ ↗
← N 33.687782°
E108.984375°		 ← 2 032.93 m → N 33.687782°
E109.006348°		 →
↑
2 033.18 m
↓
↑
2 033.18 m
↓
N 33.669497°
E108.984375°		 ← 2 033.36 m →
4 133 750 m²		 N 33.669497°
E109.006348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802764892578125 y=0.400543212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802764892578125 × 214)
    floor (0.802764892578125 × 16384)
    floor (13152.5)     		tx = 13152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400543212890625 × 214)
    floor (0.400543212890625 × 16384)
    floor (6562.5)     		ty = 6562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13152 / 6562 ti = "14/13152/6562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13152/6562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13152 ÷ 214
    13152 ÷ 16384     		x = 0.802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6562 ÷ 214
    6562 ÷ 16384     		y = 0.4005126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802734375 × 2 - 1) × π
    0.60546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90213618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4005126953125 × 2 - 1) × π
    0.198974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.625097171045532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90213618} λ = 1.90213618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.625097171045532))-π/2
    2×atan(1.86842750566569)-π/2
    2×1.07937951807904-π/2
    2.15875903615808-1.57079632675     		φ = 0.58796271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90213618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58796271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.687782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13152 KachelY 6562 1.90213618 0.58796271 108.984375 33.687782
    Oben rechts KachelX + 1 13153 KachelY 6562 1.90251967 0.58796271 109.006348 33.687782
    Unten links KachelX 13152 KachelY + 1 6563 1.90213618 0.58764358 108.984375 33.669497
    Unten rechts KachelX + 1 13153 KachelY + 1 6563 1.90251967 0.58764358 109.006348 33.669497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58796271-0.58764358) × R
    0.000319129999999945 × 6371000     		dl = 2033.17722999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58796271-0.58764358) × R
    0.000319129999999945 × 6371000     		dr = 2033.17722999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90213618-1.90251967) × cos(0.58796271) × R
    0.000383489999999931 × 0.8320724226344 × 6371000     		do = 2032.93164933113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90213618-1.90251967) × cos(0.58764358) × R
    0.000383489999999931 × 0.83224939114108 × 6371000     		du = 2033.36402140401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58796271)-sin(0.58764358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8320724226344-0.83224939114108)×R²
    abs(1.90251967-1.90213618)×0.000176968506680475×R²
    0.000383489999999931×0.000176968506680475×6371000²
    0.000383489999999931×0.000176968506680475×40589641000000     		ar = 4133749.91917662m²