Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13152 / 14178
↖ ↑ ↗
← N 70.898674°
W107.753906°		 ← 199.89 m → N 70.898674°
W107.748413°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
N 70.896876°
W107.753906°		 ← 199.91 m →
39 965 m²		 N 70.896876°
W107.748413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.200691223144531 y=0.216346740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.200691223144531 × 216)
    floor (0.200691223144531 × 65536)
    floor (13152.5)     		tx = 13152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216346740722656 × 216)
    floor (0.216346740722656 × 65536)
    floor (14178.5)     		ty = 14178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13152 / 14178 ti = "16/13152/14178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13152/14178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13152 ÷ 216
    13152 ÷ 65536     		x = 0.20068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14178 ÷ 216
    14178 ÷ 65536     		y = 0.216339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20068359375 × 2 - 1) × π
    -0.5986328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.88066045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216339111328125 × 2 - 1) × π
    0.56732177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78229392787369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.88066045} λ = -1.88066045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78229392787369))-π/2
    2×atan(5.94347469521716)-π/2
    2×1.40410580671131-π/2
    2.80821161342262-1.57079632675     		φ = 1.23741529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.88066045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -107.753906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23741529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.898674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13152 KachelY 14178 -1.88066045 1.23741529 -107.753906 70.898674
    Oben rechts KachelX + 1 13153 KachelY 14178 -1.88056457 1.23741529 -107.748413 70.898674
    Unten links KachelX 13152 KachelY + 1 14179 -1.88066045 1.23738391 -107.753906 70.896876
    Unten rechts KachelX + 1 13153 KachelY + 1 14179 -1.88056457 1.23738391 -107.748413 70.896876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23741529-1.23738391) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dl = 199.921980000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23741529-1.23738391) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dr = 199.921980000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.88066045--1.88056457) × cos(1.23741529) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.327239774141217 × 6371000     		do = 199.894900348897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.88066045--1.88056457) × cos(1.23738391) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.327269426239248 × 6371000     		du = 199.913013376864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23741529)-sin(1.23738391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327239774141217-0.327269426239248)×R²
    abs(-1.88056457--1.88066045)×2.96520980304638e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.96520980304638e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.96520980304638e-05×40589641000000     		ar = 39965.1948689625m²