Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13152 / 12474
↖ ↑ ↗
← S 68.089709°
E108.984375°		 ← 911.70 m → S 68.089709°
E109.006348°		 →
↑
911.56 m
↓
↑
911.56 m
↓
S 68.097907°
E108.984375°		 ← 911.37 m →
830 921 m²		 S 68.097907°
E109.006348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802764892578125 y=0.761383056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802764892578125 × 214)
    floor (0.802764892578125 × 16384)
    floor (13152.5)     		tx = 13152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761383056640625 × 214)
    floor (0.761383056640625 × 16384)
    floor (12474.5)     		ty = 12474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13152 / 12474 ti = "14/13152/12474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13152/12474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13152 ÷ 214
    13152 ÷ 16384     		x = 0.802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12474 ÷ 214
    12474 ÷ 16384     		y = 0.7613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802734375 × 2 - 1) × π
    0.60546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90213618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.522705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64212643338464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90213618} λ = 1.90213618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64212643338464))-π/2
    2×atan(0.193567994903933)-π/2
    2×0.191203359329963-π/2
    0.382406718659925-1.57079632675     		φ = -1.18838961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90213618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18838961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.089709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13152 KachelY 12474 1.90213618 -1.18838961 108.984375 -68.089709
    Oben rechts KachelX + 1 13153 KachelY 12474 1.90251967 -1.18838961 109.006348 -68.089709
    Unten links KachelX 13152 KachelY + 1 12475 1.90213618 -1.18853269 108.984375 -68.097907
    Unten rechts KachelX + 1 13153 KachelY + 1 12475 1.90251967 -1.18853269 109.006348 -68.097907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18838961--1.18853269) × R
    0.000143079999999962 × 6371000     		dl = 911.562679999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18838961--1.18853269) × R
    0.000143079999999962 × 6371000     		dr = 911.562679999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90213618-1.90251967) × cos(-1.18838961) × R
    0.000383489999999931 × 0.373154425792441 × 6371000     		do = 911.696412049885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90213618-1.90251967) × cos(-1.18853269) × R
    0.000383489999999931 × 0.373021676749536 × 6371000     		du = 911.372077624901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18838961)-sin(-1.18853269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373154425792441-0.373021676749536)×R²
    abs(1.90251967-1.90213618)×0.000132749042905278×R²
    0.000383489999999931×0.000132749042905278×6371000²
    0.000383489999999931×0.000132749042905278×40589641000000     		ar = 830920.600552852m²