Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13151 / 6560
↖ ↑ ↗
← N 33.724340°
E108.962402°		 ← 2 032.12 m → N 33.724340°
E108.984375°		 →
↑
2 032.35 m
↓
↑
2 032.35 m
↓
N 33.706063°
E108.962402°		 ← 2 032.55 m →
4 130 416 m²		 N 33.706063°
E108.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802703857421875 y=0.400421142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802703857421875 × 214)
    floor (0.802703857421875 × 16384)
    floor (13151.5)     		tx = 13151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400421142578125 × 214)
    floor (0.400421142578125 × 16384)
    floor (6560.5)     		ty = 6560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13151 / 6560 ti = "14/13151/6560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13151/6560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13151 ÷ 214
    13151 ÷ 16384     		x = 0.80267333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6560 ÷ 214
    6560 ÷ 16384     		y = 0.400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80267333984375 × 2 - 1) × π
    0.6053466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90175268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400390625 × 2 - 1) × π
    0.19921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.625864161439453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90175268} λ = 1.90175268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.625864161439453))-π/2
    2×atan(1.86986112132871)-π/2
    2×1.07969854596921-π/2
    2.15939709193842-1.57079632675     		φ = 0.58860077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90175268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.962402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58860077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.724340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13151 KachelY 6560 1.90175268 0.58860077 108.962402 33.724340
    Oben rechts KachelX + 1 13152 KachelY 6560 1.90213618 0.58860077 108.984375 33.724340
    Unten links KachelX 13151 KachelY + 1 6561 1.90175268 0.58828177 108.962402 33.706063
    Unten rechts KachelX + 1 13152 KachelY + 1 6561 1.90213618 0.58828177 108.984375 33.706063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58860077-0.58828177) × R
    0.000318999999999958 × 6371000     		dl = 2032.34899999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58860077-0.58828177) × R
    0.000318999999999958 × 6371000     		dr = 2032.34899999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90175268-1.90213618) × cos(0.58860077) × R
    0.000383500000000092 × 0.831718342454006 × 6371000     		do = 2032.119544174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90175268-1.90213618) × cos(0.58828177) × R
    0.000383500000000092 × 0.831895408231446 × 6371000     		du = 2032.5521651811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58860077)-sin(0.58828177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831718342454006-0.831895408231446)×R²
    abs(1.90213618-1.90175268)×0.000177065777440033×R²
    0.000383500000000092×0.000177065777440033×6371000²
    0.000383500000000092×0.000177065777440033×40589641000000     		ar = 4130415.77694416m²