Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13151 / 25613
↖ ↑ ↗
← S 70.659969°
W 35.518799°		 ← 404.57 m → S 70.659969°
W 35.507813°		 →
↑
404.49 m
↓
↑
404.49 m
↓
S 70.663607°
W 35.518799°		 ← 404.50 m →
163 634 m²		 S 70.663607°
W 35.507813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401351928710938 y=0.781661987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401351928710938 × 215)
    floor (0.401351928710938 × 32768)
    floor (13151.5)     		tx = 13151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781661987304688 × 215)
    floor (0.781661987304688 × 32768)
    floor (25613.5)     		ty = 25613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13151 / 25613 ti = "15/13151/25613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13151/25613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13151 ÷ 215
    13151 ÷ 32768     		x = 0.401336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25613 ÷ 215
    25613 ÷ 32768     		y = 0.781646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.19732666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61991999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.56329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76963858637399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61991999} λ = -0.61991999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76963858637399))-π/2
    2×atan(0.170394560614301)-π/2
    2×0.168773610228228-π/2
    0.337547220456457-1.57079632675     		φ = -1.23324911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61991999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.518799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23324911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.659969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13151 KachelY 25613 -0.61991999 -1.23324911 -35.518799 -70.659969
    Oben rechts KachelX + 1 13152 KachelY 25613 -0.61972824 -1.23324911 -35.507813 -70.659969
    Unten links KachelX 13151 KachelY + 1 25614 -0.61991999 -1.23331260 -35.518799 -70.663607
    Unten rechts KachelX + 1 13152 KachelY + 1 25614 -0.61972824 -1.23331260 -35.507813 -70.663607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23324911--1.23331260) × R
    6.34900000000549e-05 × 6371000     		dl = 404.49479000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23324911--1.23331260) × R
    6.34900000000549e-05 × 6371000     		dr = 404.49479000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61991999--0.61972824) × cos(-1.23324911) × R
    0.000191749999999935 × 0.331173718496345 × 6371000     		do = 404.574813083449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61991999--0.61972824) × cos(-1.23331260) × R
    0.000191749999999935 × 0.331113810582282 × 6371000     		du = 404.501627224244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23324911)-sin(-1.23331260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331173718496345-0.331113810582282)×R²
    abs(-0.61972824--0.61991999)×5.99079140629066e-05×R²
    0.000191749999999935×5.99079140629066e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.99079140629066e-05×40589641000000     		ar = 163633.60246285m²