Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13151 / 25505
↖ ↑ ↗
← S 70.263163°
W 35.518799°		 ← 412.55 m → S 70.263163°
W 35.507813°		 →
↑
412.46 m
↓
↑
412.46 m
↓
S 70.266872°
W 35.518799°		 ← 412.47 m →
170 144 m²		 S 70.266872°
W 35.507813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401351928710938 y=0.778366088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401351928710938 × 215)
    floor (0.401351928710938 × 32768)
    floor (13151.5)     		tx = 13151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778366088867188 × 215)
    floor (0.778366088867188 × 32768)
    floor (25505.5)     		ty = 25505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13151 / 25505 ti = "15/13151/25505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13151/25505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13151 ÷ 215
    13151 ÷ 32768     		x = 0.401336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25505 ÷ 215
    25505 ÷ 32768     		y = 0.778350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.19732666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61991999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778350830078125 × 2 - 1) × π
    -0.55670166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74892984573813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61991999} λ = -0.61991999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74892984573813))-π/2
    2×atan(0.173960007917715)-π/2
    2×0.172236399828429-π/2
    0.344472799656859-1.57079632675     		φ = -1.22632353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61991999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.518799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22632353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.263163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13151 KachelY 25505 -0.61991999 -1.22632353 -35.518799 -70.263163
    Oben rechts KachelX + 1 13152 KachelY 25505 -0.61972824 -1.22632353 -35.507813 -70.263163
    Unten links KachelX 13151 KachelY + 1 25506 -0.61991999 -1.22638827 -35.518799 -70.266872
    Unten rechts KachelX + 1 13152 KachelY + 1 25506 -0.61972824 -1.22638827 -35.507813 -70.266872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22632353--1.22638827) × R
    6.47400000000076e-05 × 6371000     		dl = 412.458540000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22632353--1.22638827) × R
    6.47400000000076e-05 × 6371000     		dr = 412.458540000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61991999--0.61972824) × cos(-1.22632353) × R
    0.000191749999999935 × 0.337700492276181 × 6371000     		do = 412.548176108764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61991999--0.61972824) × cos(-1.22638827) × R
    0.000191749999999935 × 0.337639554809156 × 6371000     		du = 412.473732507251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22632353)-sin(-1.22638827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337700492276181-0.337639554809156)×R²
    abs(-0.61972824--0.61991999)×6.09374670249574e-05×R²
    0.000191749999999935×6.09374670249574e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.09374670249574e-05×40589641000000     		ar = 170143.666007356m²