Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13150 / 25616
↖ ↑ ↗
← S 70.670881°
W 35.529785°		 ← 404.33 m → S 70.670881°
W 35.518799°		 →
↑
404.30 m
↓
↑
404.30 m
↓
S 70.674517°
W 35.529785°		 ← 404.26 m →
163 459 m²		 S 70.674517°
W 35.518799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401321411132812 y=0.781753540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401321411132812 × 215)
    floor (0.401321411132812 × 32768)
    floor (13150.5)     		tx = 13150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781753540039062 × 215)
    floor (0.781753540039062 × 32768)
    floor (25616.5)     		ty = 25616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13150 / 25616 ti = "15/13150/25616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13150/25616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13150 ÷ 215
    13150 ÷ 32768     		x = 0.40130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25616 ÷ 215
    25616 ÷ 32768     		y = 0.78173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.1973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.62011173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78173828125 × 2 - 1) × π
    -0.5634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77021382916943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62011173} λ = -0.62011173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77021382916943))-π/2
    2×atan(0.170296570557664)-π/2
    2×0.16867838342603-π/2
    0.337356766852061-1.57079632675     		φ = -1.23343956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62011173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.529785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23343956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.670881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13150 KachelY 25616 -0.62011173 -1.23343956 -35.529785 -70.670881
    Oben rechts KachelX + 1 13151 KachelY 25616 -0.61991999 -1.23343956 -35.518799 -70.670881
    Unten links KachelX 13150 KachelY + 1 25617 -0.62011173 -1.23350302 -35.529785 -70.674517
    Unten rechts KachelX + 1 13151 KachelY + 1 25617 -0.61991999 -1.23350302 -35.518799 -70.674517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23343956--1.23350302) × R
    6.34599999997931e-05 × 6371000     		dl = 404.303659998682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23343956--1.23350302) × R
    6.34599999997931e-05 × 6371000     		dr = 404.303659998682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62011173--0.61991999) × cos(-1.23343956) × R
    0.000191739999999996 × 0.330994009622915 × 6371000     		do = 404.334186041869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62011173--0.61991999) × cos(-1.23350302) × R
    0.000191739999999996 × 0.330934126015474 × 6371000     		du = 404.261033691772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23343956)-sin(-1.23350302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330994009622915-0.330934126015474)×R²
    abs(-0.61991999--0.62011173)×5.98836074415243e-05×R²
    0.000191739999999996×5.98836074415243e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.98836074415243e-05×40589641000000     		ar = 163459.003452194m²