Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13150 / 25614
↖ ↑ ↗
← S 70.663607°
W 35.529785°		 ← 404.48 m → S 70.663607°
W 35.518799°		 →
↑
404.49 m
↓
↑
404.49 m
↓
S 70.667245°
W 35.529785°		 ← 404.41 m →
163 595 m²		 S 70.667245°
W 35.518799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401321411132812 y=0.781692504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401321411132812 × 215)
    floor (0.401321411132812 × 32768)
    floor (13150.5)     		tx = 13150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781692504882812 × 215)
    floor (0.781692504882812 × 32768)
    floor (25614.5)     		ty = 25614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13150 / 25614 ti = "15/13150/25614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13150/25614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13150 ÷ 215
    13150 ÷ 32768     		x = 0.40130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25614 ÷ 215
    25614 ÷ 32768     		y = 0.78167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.1973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.62011173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.5633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76983033397247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62011173} λ = -0.62011173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76983033397247))-π/2
    2×atan(0.170361890998769)-π/2
    2×0.168741862217444-π/2
    0.337483724434889-1.57079632675     		φ = -1.23331260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62011173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.529785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23331260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.663607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13150 KachelY 25614 -0.62011173 -1.23331260 -35.529785 -70.663607
    Oben rechts KachelX + 1 13151 KachelY 25614 -0.61991999 -1.23331260 -35.518799 -70.663607
    Unten links KachelX 13150 KachelY + 1 25615 -0.62011173 -1.23337609 -35.529785 -70.667245
    Unten rechts KachelX + 1 13151 KachelY + 1 25615 -0.61991999 -1.23337609 -35.518799 -70.667245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23331260--1.23337609) × R
    6.34899999998328e-05 × 6371000     		dl = 404.494789998935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23331260--1.23337609) × R
    6.34899999998328e-05 × 6371000     		dr = 404.494789998935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62011173--0.61991999) × cos(-1.23331260) × R
    0.000191739999999996 × 0.331113810582282 × 6371000     		do = 404.4805319635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62011173--0.61991999) × cos(-1.23337609) × R
    0.000191739999999996 × 0.331053901333506 × 6371000     		du = 404.407348290576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23331260)-sin(-1.23337609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331113810582282-0.331053901333506)×R²
    abs(-0.61991999--0.62011173)×5.99092487758024e-05×R²
    0.000191739999999996×5.99092487758024e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.99092487758024e-05×40589641000000     		ar = 163595.466682825m²