Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13150 / 12476
↖ ↑ ↗
← S 68.106101°
E108.940430°		 ← 911.05 m → S 68.106101°
E108.962402°		 →
↑
910.93 m
↓
↑
910.93 m
↓
S 68.114294°
E108.940430°		 ← 910.72 m →
829 749 m²		 S 68.114294°
E108.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802642822265625 y=0.761505126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802642822265625 × 214)
    floor (0.802642822265625 × 16384)
    floor (13150.5)     		tx = 13150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761505126953125 × 214)
    floor (0.761505126953125 × 16384)
    floor (12476.5)     		ty = 12476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13150 / 12476 ti = "14/13150/12476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13150/12476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13150 ÷ 214
    13150 ÷ 16384     		x = 0.8026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12476 ÷ 214
    12476 ÷ 16384     		y = 0.761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8026123046875 × 2 - 1) × π
    0.605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.90136919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.52294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64289342377856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90136919} λ = 1.90136919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64289342377856))-π/2
    2×atan(0.193419587032253)-π/2
    2×0.191060307304475-π/2
    0.382120614608949-1.57079632675     		φ = -1.18867571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90136919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.940430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18867571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.106101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13150 KachelY 12476 1.90136919 -1.18867571 108.940430 -68.106101
    Oben rechts KachelX + 1 13151 KachelY 12476 1.90175268 -1.18867571 108.962402 -68.106101
    Unten links KachelX 13150 KachelY + 1 12477 1.90136919 -1.18881869 108.940430 -68.114294
    Unten rechts KachelX + 1 13151 KachelY + 1 12477 1.90175268 -1.18881869 108.962402 -68.114294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18867571--1.18881869) × R
    0.000142979999999904 × 6371000     		dl = 910.925579999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18867571--1.18881869) × R
    0.000142979999999904 × 6371000     		dr = 910.925579999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90136919-1.90175268) × cos(-1.18867571) × R
    0.000383489999999931 × 0.372888975742732 × 6371000     		do = 911.047860562429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90136919-1.90175268) × cos(-1.18881869) × R
    0.000383489999999931 × 0.37275630422576 × 6371000     		du = 910.723715549951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18867571)-sin(-1.18881869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372888975742732-0.37275630422576)×R²
    abs(1.90175268-1.90136919)×0.000132671516972327×R²
    0.000383489999999931×0.000132671516972327×6371000²
    0.000383489999999931×0.000132671516972327×40589641000000     		ar = 829749.166211973m²