Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13149 / 25611
↖ ↑ ↗
← S 70.652691°
W 35.540771°		 ← 404.72 m → S 70.652691°
W 35.529785°		 →
↑
404.69 m
↓
↑
404.69 m
↓
S 70.656330°
W 35.540771°		 ← 404.65 m →
163 770 m²		 S 70.656330°
W 35.529785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401290893554688 y=0.781600952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401290893554688 × 215)
    floor (0.401290893554688 × 32768)
    floor (13149.5)     		tx = 13149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781600952148438 × 215)
    floor (0.781600952148438 × 32768)
    floor (25611.5)     		ty = 25611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13149 / 25611 ti = "15/13149/25611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13149/25611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13149 ÷ 215
    13149 ÷ 32768     		x = 0.401275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25611 ÷ 215
    25611 ÷ 32768     		y = 0.781585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.19744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.62030348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.56317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76925509117703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62030348} λ = -0.62030348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76925509117703))-π/2
    2×atan(0.170459918641328)-π/2
    2×0.168837123484507-π/2
    0.337674246969014-1.57079632675     		φ = -1.23312208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62030348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.540771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23312208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.652691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13149 KachelY 25611 -0.62030348 -1.23312208 -35.540771 -70.652691
    Oben rechts KachelX + 1 13150 KachelY 25611 -0.62011173 -1.23312208 -35.529785 -70.652691
    Unten links KachelX 13149 KachelY + 1 25612 -0.62030348 -1.23318560 -35.540771 -70.656330
    Unten rechts KachelX + 1 13150 KachelY + 1 25612 -0.62011173 -1.23318560 -35.529785 -70.656330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23312208--1.23318560) × R
    6.35200000000946e-05 × 6371000     		dl = 404.685920000603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23312208--1.23318560) × R
    6.35200000000946e-05 × 6371000     		dr = 404.685920000603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62030348--0.62011173) × cos(-1.23312208) × R
    0.000191750000000046 × 0.331293577495752 × 6371000     		do = 404.721237541824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62030348--0.62011173) × cos(-1.23318560) × R
    0.000191750000000046 × 0.331233643946428 × 6371000     		du = 404.648020365579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23312208)-sin(-1.23318560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331293577495752-0.331233643946428)×R²
    abs(-0.62011173--0.62030348)×5.99335493233211e-05×R²
    0.000191750000000046×5.99335493233211e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.99335493233211e-05×40589641000000     		ar = 163770.171434002m²