Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13148 / 12453
↖ ↑ ↗
← S 67.916882°
E108.896485°		 ← 918.53 m → S 67.916882°
E108.918457°		 →
↑
918.38 m
↓
↑
918.38 m
↓
S 67.925141°
E108.896485°		 ← 918.20 m →
843 409 m²		 S 67.925141°
E108.918457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802520751953125 y=0.760101318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802520751953125 × 214)
    floor (0.802520751953125 × 16384)
    floor (13148.5)     		tx = 13148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760101318359375 × 214)
    floor (0.760101318359375 × 16384)
    floor (12453.5)     		ty = 12453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13148 / 12453 ti = "14/13148/12453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13148/12453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13148 ÷ 214
    13148 ÷ 16384     		x = 0.802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12453 ÷ 214
    12453 ÷ 16384     		y = 0.76007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802490234375 × 2 - 1) × π
    0.60498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90060220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.5201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63407303424847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90060220} λ = 1.90060220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63407303424847))-π/2
    2×atan(0.195133169254366)-π/2
    2×0.192711565239363-π/2
    0.385423130478725-1.57079632675     		φ = -1.18537320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90060220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.896485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18537320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.916882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13148 KachelY 12453 1.90060220 -1.18537320 108.896485 -67.916882
    Oben rechts KachelX + 1 13149 KachelY 12453 1.90098569 -1.18537320 108.918457 -67.916882
    Unten links KachelX 13148 KachelY + 1 12454 1.90060220 -1.18551735 108.896485 -67.925141
    Unten rechts KachelX + 1 13149 KachelY + 1 12454 1.90098569 -1.18551735 108.918457 -67.925141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18537320--1.18551735) × R
    0.000144150000000121 × 6371000     		dl = 918.379650000768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18537320--1.18551735) × R
    0.000144150000000121 × 6371000     		dr = 918.379650000768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90060220-1.90098569) × cos(-1.18537320) × R
    0.000383489999999931 × 0.375951256366776 × 6371000     		do = 918.529669874224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90060220-1.90098569) × cos(-1.18551735) × R
    0.000383489999999931 × 0.375817677385892 × 6371000     		du = 918.203307732494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18537320)-sin(-1.18551735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375951256366776-0.375817677385892)×R²
    abs(1.90098569-1.90060220)×0.000133578980884341×R²
    0.000383489999999931×0.000133578980884341×6371000²
    0.000383489999999931×0.000133578980884341×40589641000000     		ar = 843409.096019983m²