Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13147 / 25609
↖ ↑ ↗
← S 70.645410°
W 35.562744°		 ← 404.87 m → S 70.645410°
W 35.551758°		 →
↑
404.81 m
↓
↑
404.81 m
↓
S 70.649051°
W 35.562744°		 ← 404.79 m →
163 881 m²		 S 70.649051°
W 35.551758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401229858398438 y=0.781539916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401229858398438 × 215)
    floor (0.401229858398438 × 32768)
    floor (13147.5)     		tx = 13147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781539916992188 × 215)
    floor (0.781539916992188 × 32768)
    floor (25609.5)     		ty = 25609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13147 / 25609 ti = "15/13147/25609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13147/25609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13147 ÷ 215
    13147 ÷ 32768     		x = 0.401214599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25609 ÷ 215
    25609 ÷ 32768     		y = 0.781524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401214599609375 × 2 - 1) × π
    -0.19757080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.62068698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.56304931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76887159598007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62068698} λ = -0.62068698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76887159598007))-π/2
    2×atan(0.170525301737652)-π/2
    2×0.168900659726475-π/2
    0.337801319452951-1.57079632675     		φ = -1.23299501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62068698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.562744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23299501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.645410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13147 KachelY 25609 -0.62068698 -1.23299501 -35.562744 -70.645410
    Oben rechts KachelX + 1 13148 KachelY 25609 -0.62049523 -1.23299501 -35.551758 -70.645410
    Unten links KachelX 13147 KachelY + 1 25610 -0.62068698 -1.23305855 -35.562744 -70.649051
    Unten rechts KachelX + 1 13148 KachelY + 1 25610 -0.62049523 -1.23305855 -35.551758 -70.649051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23299501--1.23305855) × R
    6.35399999999731e-05 × 6371000     		dl = 404.813339999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23299501--1.23305855) × R
    6.35399999999731e-05 × 6371000     		dr = 404.813339999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62068698--0.62049523) × cos(-1.23299501) × R
    0.000191750000000046 × 0.331413468888624 × 6371000     		do = 404.867701573095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62068698--0.62049523) × cos(-1.23305855) × R
    0.000191750000000046 × 0.331353519143441 × 6371000     		du = 404.794464611352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23299501)-sin(-1.23305855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331413468888624-0.331353519143441)×R²
    abs(-0.62049523--0.62068698)×5.994974518303e-05×R²
    0.000191750000000046×5.994974518303e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.994974518303e-05×40589641000000     		ar = 163881.022937971m²