Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13147 / 25515
↖ ↑ ↗
← S 70.300230°
W 35.562744°		 ← 411.80 m → S 70.300230°
W 35.551758°		 →
↑
411.76 m
↓
↑
411.76 m
↓
S 70.303933°
W 35.562744°		 ← 411.73 m →
169 548 m²		 S 70.303933°
W 35.551758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401229858398438 y=0.778671264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401229858398438 × 215)
    floor (0.401229858398438 × 32768)
    floor (13147.5)     		tx = 13147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778671264648438 × 215)
    floor (0.778671264648438 × 32768)
    floor (25515.5)     		ty = 25515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13147 / 25515 ti = "15/13147/25515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13147/25515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13147 ÷ 215
    13147 ÷ 32768     		x = 0.401214599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25515 ÷ 215
    25515 ÷ 32768     		y = 0.778656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401214599609375 × 2 - 1) × π
    -0.19757080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.62068698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.55731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75084732172293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62068698} λ = -0.62068698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75084732172293))-π/2
    2×atan(0.173626763376523)-π/2
    2×0.171912925552486-π/2
    0.343825851104972-1.57079632675     		φ = -1.22697048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62068698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.562744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22697048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.300230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13147 KachelY 25515 -0.62068698 -1.22697048 -35.562744 -70.300230
    Oben rechts KachelX + 1 13148 KachelY 25515 -0.62049523 -1.22697048 -35.551758 -70.300230
    Unten links KachelX 13147 KachelY + 1 25516 -0.62068698 -1.22703511 -35.562744 -70.303933
    Unten rechts KachelX + 1 13148 KachelY + 1 25516 -0.62049523 -1.22703511 -35.551758 -70.303933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22697048--1.22703511) × R
    6.463000000001e-05 × 6371000     		dl = 411.757730000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22697048--1.22703511) × R
    6.463000000001e-05 × 6371000     		dr = 411.757730000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62068698--0.62049523) × cos(-1.22697048) × R
    0.000191750000000046 × 0.337091477617772 × 6371000     		do = 411.804179898466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62068698--0.62049523) × cos(-1.22703511) × R
    0.000191750000000046 × 0.337030629584991 × 6371000     		du = 411.729845553335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22697048)-sin(-1.22703511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337091477617772-0.337030629584991)×R²
    abs(-0.62049523--0.62068698)×6.08480327812799e-05×R²
    0.000191750000000046×6.08480327812799e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.08480327812799e-05×40589641000000     		ar = 169548.250507793m²