Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13144 / 12457
↖ ↑ ↗
← S 67.949900°
E108.808594°		 ← 917.22 m → S 67.949900°
E108.830566°		 →
↑
917.04 m
↓
↑
917.04 m
↓
S 67.958148°
E108.808594°		 ← 916.90 m →
840 984 m²		 S 67.958148°
E108.830566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802276611328125 y=0.760345458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802276611328125 × 214)
    floor (0.802276611328125 × 16384)
    floor (13144.5)     		tx = 13144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760345458984375 × 214)
    floor (0.760345458984375 × 16384)
    floor (12457.5)     		ty = 12457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13144 / 12457 ti = "14/13144/12457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13144/12457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13144 ÷ 214
    13144 ÷ 16384     		x = 0.80224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12457 ÷ 214
    12457 ÷ 16384     		y = 0.76031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80224609375 × 2 - 1) × π
    0.6044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89906822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.5206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63560701503632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89906822} λ = 1.89906822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63560701503632))-π/2
    2×atan(0.194834068187955)-π/2
    2×0.192423419091265-π/2
    0.38484683818253-1.57079632675     		φ = -1.18594949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89906822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18594949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.949900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13144 KachelY 12457 1.89906822 -1.18594949 108.808594 -67.949900
    Oben rechts KachelX + 1 13145 KachelY 12457 1.89945171 -1.18594949 108.830566 -67.949900
    Unten links KachelX 13144 KachelY + 1 12458 1.89906822 -1.18609343 108.808594 -67.958148
    Unten rechts KachelX + 1 13145 KachelY + 1 12458 1.89945171 -1.18609343 108.830566 -67.958148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18594949--1.18609343) × R
    0.000143939999999843 × 6371000     		dl = 917.041739998997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18594949--1.18609343) × R
    0.000143939999999843 × 6371000     		dr = 917.041739998997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89906822-1.89945171) × cos(-1.18594949) × R
    0.000383489999999931 × 0.375417180924508 × 6371000     		do = 917.224808854699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89906822-1.89945171) × cos(-1.18609343) × R
    0.000383489999999931 × 0.375283765391359 × 6371000     		du = 916.898846050893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18594949)-sin(-1.18609343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375417180924508-0.375283765391359)×R²
    abs(1.89945171-1.89906822)×0.00013341553314955×R²
    0.000383489999999931×0.00013341553314955×6371000²
    0.000383489999999931×0.00013341553314955×40589641000000     		ar = 840983.975387347m²