Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13141 / 25507
↖ ↑ ↗
← S 70.270581°
W 35.628662°		 ← 412.40 m → S 70.270581°
W 35.617676°		 →
↑
412.33 m
↓
↑
412.33 m
↓
S 70.274289°
W 35.628662°		 ← 412.32 m →
170 030 m²		 S 70.274289°
W 35.617676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401046752929688 y=0.778427124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401046752929688 × 215)
    floor (0.401046752929688 × 32768)
    floor (13141.5)     		tx = 13141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778427124023438 × 215)
    floor (0.778427124023438 × 32768)
    floor (25507.5)     		ty = 25507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13141 / 25507 ti = "15/13141/25507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13141/25507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13141 ÷ 215
    13141 ÷ 32768     		x = 0.401031494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25507 ÷ 215
    25507 ÷ 32768     		y = 0.778411865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.19793701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.62183746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.55682373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74931334093509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62183746} λ = -0.62183746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74931334093509))-π/2
    2×atan(0.173893307880605)-π/2
    2×0.172171658255158-π/2
    0.344343316510317-1.57079632675     		φ = -1.22645301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62183746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.628662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22645301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.270581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13141 KachelY 25507 -0.62183746 -1.22645301 -35.628662 -70.270581
    Oben rechts KachelX + 1 13142 KachelY 25507 -0.62164571 -1.22645301 -35.617676 -70.270581
    Unten links KachelX 13141 KachelY + 1 25508 -0.62183746 -1.22651773 -35.628662 -70.274289
    Unten rechts KachelX + 1 13142 KachelY + 1 25508 -0.62164571 -1.22651773 -35.617676 -70.274289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22645301--1.22651773) × R
    6.47200000001291e-05 × 6371000     		dl = 412.331120000823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22645301--1.22651773) × R
    6.47200000001291e-05 × 6371000     		dr = 412.331120000823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62183746--0.62164571) × cos(-1.22645301) × R
    0.000191749999999935 × 0.337578615926993 × 6371000     		do = 412.39928717695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62183746--0.62164571) × cos(-1.22651773) × R
    0.000191749999999935 × 0.337517694456332 × 6371000     		du = 412.324863117222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22645301)-sin(-1.22651773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337578615926993-0.337517694456332)×R²
    abs(-0.62164571--0.62183746)×6.09214706613903e-05×R²
    0.000191749999999935×6.09214706613903e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.09214706613903e-05×40589641000000     		ar = 170029.716350914m²