Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13134 / 5434
↖ ↑ ↗
← N 51.699800°
E108.588867°		 ← 1 514.30 m → N 51.699800°
E108.610840°		 →
↑
1 514.51 m
↓
↑
1 514.51 m
↓
N 51.686179°
E108.588867°		 ← 1 514.76 m →
2 293 773 m²		 N 51.686179°
E108.610840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801666259765625 y=0.331695556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801666259765625 × 214)
    floor (0.801666259765625 × 16384)
    floor (13134.5)     		tx = 13134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331695556640625 × 214)
    floor (0.331695556640625 × 16384)
    floor (5434.5)     		ty = 5434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13134 / 5434 ti = "14/13134/5434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13134/5434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13134 ÷ 214
    13134 ÷ 16384     		x = 0.8016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5434 ÷ 214
    5434 ÷ 16384     		y = 0.3316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8016357421875 × 2 - 1) × π
    0.603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89523326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3316650390625 × 2 - 1) × π
    0.336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05767975321692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89523326} λ = 1.89523326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05767975321692))-π/2
    2×atan(2.87968165971405)-π/2
    2×1.23656402838811-π/2
    2.47312805677623-1.57079632675     		φ = 0.90233173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89523326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.588867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90233173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.699800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13134 KachelY 5434 1.89523326 0.90233173 108.588867 51.699800
    Oben rechts KachelX + 1 13135 KachelY 5434 1.89561676 0.90233173 108.610840 51.699800
    Unten links KachelX 13134 KachelY + 1 5435 1.89523326 0.90209401 108.588867 51.686179
    Unten rechts KachelX + 1 13135 KachelY + 1 5435 1.89561676 0.90209401 108.610840 51.686179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90233173-0.90209401) × R
    0.000237719999999997 × 6371000     		dl = 1514.51411999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90233173-0.90209401) × R
    0.000237719999999997 × 6371000     		dr = 1514.51411999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89523326-1.89561676) × cos(0.90233173) × R
    0.000383500000000092 × 0.619781773235797 × 6371000     		do = 1514.29948123926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89523326-1.89561676) × cos(0.90209401) × R
    0.000383500000000092 × 0.619968312245982 × 6371000     		du = 1514.75524799226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90233173)-sin(0.90209401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619781773235797-0.619968312245982)×R²
    abs(1.89561676-1.89523326)×0.00018653901018495×R²
    0.000383500000000092×0.00018653901018495×6371000²
    0.000383500000000092×0.00018653901018495×40589641000000     		ar = 2293773.08963894m²