Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13131 / 5437
↖ ↑ ↗
← N 51.658927°
E108.522949°		 ← 1 515.63 m → N 51.658927°
E108.544922°		 →
↑
1 515.92 m
↓
↑
1 515.92 m
↓
N 51.645294°
E108.522949°		 ← 1 516.08 m →
2 297 909 m²		 N 51.645294°
E108.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801483154296875 y=0.331878662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801483154296875 × 214)
    floor (0.801483154296875 × 16384)
    floor (13131.5)     		tx = 13131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331878662109375 × 214)
    floor (0.331878662109375 × 16384)
    floor (5437.5)     		ty = 5437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13131 / 5437 ti = "14/13131/5437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13131/5437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13131 ÷ 214
    13131 ÷ 16384     		x = 0.80145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5437 ÷ 214
    5437 ÷ 16384     		y = 0.33184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80145263671875 × 2 - 1) × π
    0.6029052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89408278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33184814453125 × 2 - 1) × π
    0.3363037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05652926762604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89408278} λ = 1.89408278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05652926762604))-π/2
    2×atan(2.8763705325255)-π/2
    2×1.23620734242199-π/2
    2.47241468484397-1.57079632675     		φ = 0.90161836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89408278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.522949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90161836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.658927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13131 KachelY 5437 1.89408278 0.90161836 108.522949 51.658927
    Oben rechts KachelX + 1 13132 KachelY 5437 1.89446627 0.90161836 108.544922 51.658927
    Unten links KachelX 13131 KachelY + 1 5438 1.89408278 0.90138042 108.522949 51.645294
    Unten rechts KachelX + 1 13132 KachelY + 1 5438 1.89446627 0.90138042 108.544922 51.645294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90161836-0.90138042) × R
    0.000237939999999992 × 6371000     		dl = 1515.91573999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90161836-0.90138042) × R
    0.000237939999999992 × 6371000     		dr = 1515.91573999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89408278-1.89446627) × cos(0.90161836) × R
    0.000383489999999931 × 0.620341449860806 × 6371000     		do = 1515.62740514969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89408278-1.89446627) × cos(0.90138042) × R
    0.000383489999999931 × 0.620528056224239 × 6371000     		du = 1516.08332457674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90161836)-sin(0.90138042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620341449860806-0.620528056224239)×R²
    abs(1.89446627-1.89408278)×0.000186606363432373×R²
    0.000383489999999931×0.000186606363432373×6371000²
    0.000383489999999931×0.000186606363432373×40589641000000     		ar = 2297909.01800083m²