Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13131 / 12220
↖ ↑ ↗
← S 65.910623°
E108.522949°		 ← 997.23 m → S 65.910623°
E108.544922°		 →
↑
997.06 m
↓
↑
997.06 m
↓
S 65.919590°
E108.522949°		 ← 996.88 m →
994 121 m²		 S 65.919590°
E108.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801483154296875 y=0.745880126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801483154296875 × 214)
    floor (0.801483154296875 × 16384)
    floor (13131.5)     		tx = 13131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745880126953125 × 214)
    floor (0.745880126953125 × 16384)
    floor (12220.5)     		ty = 12220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13131 / 12220 ti = "14/13131/12220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13131/12220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13131 ÷ 214
    13131 ÷ 16384     		x = 0.80145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12220 ÷ 214
    12220 ÷ 16384     		y = 0.745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80145263671875 × 2 - 1) × π
    0.6029052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89408278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.49169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54471865335669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89408278} λ = 1.89408278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54471865335669))-π/2
    2×atan(0.213371894245104)-π/2
    2×0.210219468726778-π/2
    0.420438937453557-1.57079632675     		φ = -1.15035739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89408278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.522949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15035739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.910623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13131 KachelY 12220 1.89408278 -1.15035739 108.522949 -65.910623
    Oben rechts KachelX + 1 13132 KachelY 12220 1.89446627 -1.15035739 108.544922 -65.910623
    Unten links KachelX 13131 KachelY + 1 12221 1.89408278 -1.15051389 108.522949 -65.919590
    Unten rechts KachelX + 1 13132 KachelY + 1 12221 1.89446627 -1.15051389 108.544922 -65.919590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15035739--1.15051389) × R
    0.000156500000000115 × 6371000     		dl = 997.061500000732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15035739--1.15051389) × R
    0.000156500000000115 × 6371000     		dr = 997.061500000732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89408278-1.89446627) × cos(-1.15035739) × R
    0.000383489999999931 × 0.40816120209893 × 6371000     		do = 997.225485672104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89408278-1.89446627) × cos(-1.15051389) × R
    0.000383489999999931 × 0.408018326706263 × 6371000     		du = 996.876410399613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15035739)-sin(-1.15051389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40816120209893-0.408018326706263)×R²
    abs(1.89446627-1.89408278)×0.000142875392667108×R²
    0.000383489999999931×0.000142875392667108×6371000²
    0.000383489999999931×0.000142875392667108×40589641000000     		ar = 994121.115855903m²