Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13130 / 25506
↖ ↑ ↗
← S 70.266872°
W 35.749512°		 ← 412.47 m → S 70.266872°
W 35.738526°		 →
↑
412.46 m
↓
↑
412.46 m
↓
S 70.270581°
W 35.749512°		 ← 412.40 m →
170 113 m²		 S 70.270581°
W 35.738526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.400711059570312 y=0.778396606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.400711059570312 × 215)
    floor (0.400711059570312 × 32768)
    floor (13130.5)     		tx = 13130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778396606445312 × 215)
    floor (0.778396606445312 × 32768)
    floor (25506.5)     		ty = 25506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13130 / 25506 ti = "15/13130/25506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13130/25506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13130 ÷ 215
    13130 ÷ 32768     		x = 0.40069580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25506 ÷ 215
    25506 ÷ 32768     		y = 0.77838134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.62394669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.5567626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74912159333661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62394669} λ = -0.62394669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74912159333661))-π/2
    2×atan(0.173926654701767)-π/2
    2×0.172204026120536-π/2
    0.344408052241072-1.57079632675     		φ = -1.22638827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62394669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.749512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22638827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.266872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13130 KachelY 25506 -0.62394669 -1.22638827 -35.749512 -70.266872
    Oben rechts KachelX + 1 13131 KachelY 25506 -0.62375494 -1.22638827 -35.738526 -70.266872
    Unten links KachelX 13130 KachelY + 1 25507 -0.62394669 -1.22645301 -35.749512 -70.270581
    Unten rechts KachelX + 1 13131 KachelY + 1 25507 -0.62375494 -1.22645301 -35.738526 -70.270581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22638827--1.22645301) × R
    6.47400000000076e-05 × 6371000     		dl = 412.458540000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22638827--1.22645301) × R
    6.47400000000076e-05 × 6371000     		dr = 412.458540000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62394669--0.62375494) × cos(-1.22638827) × R
    0.000191750000000046 × 0.337639554809156 × 6371000     		do = 412.47373250749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62394669--0.62375494) × cos(-1.22645301) × R
    0.000191750000000046 × 0.337578615926993 × 6371000     		du = 412.399287177189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22638827)-sin(-1.22645301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337639554809156-0.337578615926993)×R²
    abs(-0.62375494--0.62394669)×6.09388821626866e-05×R²
    0.000191750000000046×6.09388821626866e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.09388821626866e-05×40589641000000     		ar = 170112.960751612m²