Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13129 / 25513
↖ ↑ ↗
← S 70.292822°
W 35.760498°		 ← 411.93 m → S 70.292822°
W 35.749512°		 →
↑
411.89 m
↓
↑
411.89 m
↓
S 70.296526°
W 35.760498°		 ← 411.86 m →
169 653 m²		 S 70.296526°
W 35.749512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.400680541992188 y=0.778610229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.400680541992188 × 215)
    floor (0.400680541992188 × 32768)
    floor (13129.5)     		tx = 13129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778610229492188 × 215)
    floor (0.778610229492188 × 32768)
    floor (25513.5)     		ty = 25513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13129 / 25513 ti = "15/13129/25513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13129/25513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13129 ÷ 215
    13129 ÷ 32768     		x = 0.400665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25513 ÷ 215
    25513 ÷ 32768     		y = 0.778594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.400665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.19866943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.62413843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.55718994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75046382652597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62413843} λ = -0.62413843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75046382652597))-π/2
    2×atan(0.173693361175493)-π/2
    2×0.171977573704289-π/2
    0.343955147408579-1.57079632675     		φ = -1.22684118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62413843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.760498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22684118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.292822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13129 KachelY 25513 -0.62413843 -1.22684118 -35.760498 -70.292822
    Oben rechts KachelX + 1 13130 KachelY 25513 -0.62394669 -1.22684118 -35.749512 -70.292822
    Unten links KachelX 13129 KachelY + 1 25514 -0.62413843 -1.22690583 -35.760498 -70.296526
    Unten rechts KachelX + 1 13130 KachelY + 1 25514 -0.62394669 -1.22690583 -35.749512 -70.296526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22684118--1.22690583) × R
    6.46499999998884e-05 × 6371000     		dl = 411.885149999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22684118--1.22690583) × R
    6.46499999998884e-05 × 6371000     		dr = 411.885149999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62413843--0.62394669) × cos(-1.22684118) × R
    0.000191739999999996 × 0.337213207116082 × 6371000     		do = 411.931405577951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62413843--0.62394669) × cos(-1.22690583) × R
    0.000191739999999996 × 0.337152343071512 × 6371000     		du = 411.857055549839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22684118)-sin(-1.22690583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337213207116082-0.337152343071512)×R²
    abs(-0.62394669--0.62413843)×6.08640445702302e-05×R²
    0.000191739999999996×6.08640445702302e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.08640445702302e-05×40589641000000     		ar = 169653.116998981m²