Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13126 / 12484
↖ ↑ ↗
← S 68.171555°
E108.413086°		 ← 908.48 m → S 68.171555°
E108.435059°		 →
↑
908.31 m
↓
↑
908.31 m
↓
S 68.179724°
E108.413086°		 ← 908.16 m →
825 039 m²		 S 68.179724°
E108.435059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801177978515625 y=0.761993408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801177978515625 × 214)
    floor (0.801177978515625 × 16384)
    floor (13126.5)     		tx = 13126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761993408203125 × 214)
    floor (0.761993408203125 × 16384)
    floor (12484.5)     		ty = 12484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13126 / 12484 ti = "14/13126/12484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13126/12484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13126 ÷ 214
    13126 ÷ 16384     		x = 0.8011474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12484 ÷ 214
    12484 ÷ 16384     		y = 0.761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8011474609375 × 2 - 1) × π
    0.602294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89216530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.52392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64596138535425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89216530} λ = 1.89216530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64596138535425))-π/2
    2×atan(0.192827092511198)-π/2
    2×0.190489116294274-π/2
    0.380978232588548-1.57079632675     		φ = -1.18981809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89216530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18981809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.171555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13126 KachelY 12484 1.89216530 -1.18981809 108.413086 -68.171555
    Oben rechts KachelX + 1 13127 KachelY 12484 1.89254880 -1.18981809 108.435059 -68.171555
    Unten links KachelX 13126 KachelY + 1 12485 1.89216530 -1.18996066 108.413086 -68.179724
    Unten rechts KachelX + 1 13127 KachelY + 1 12485 1.89254880 -1.18996066 108.435059 -68.179724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18981809--1.18996066) × R
    0.000142569999999953 × 6371000     		dl = 908.313469999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18981809--1.18996066) × R
    0.000142569999999953 × 6371000     		dr = 908.313469999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89216530-1.89254880) × cos(-1.18981809) × R
    0.00038349999999987 × 0.371828745709089 × 6371000     		do = 908.481180072677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89216530-1.89254880) × cos(-1.18996066) × R
    0.00038349999999987 × 0.371696394008098 × 6371000     		du = 908.157808007207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18981809)-sin(-1.18996066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371828745709089-0.371696394008098)×R²
    abs(1.89254880-1.89216530)×0.000132351700991185×R²
    0.00038349999999987×0.000132351700991185×6371000²
    0.00038349999999987×0.000132351700991185×40589641000000     		ar = 825038.832897635m²