Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13125 / 12483
↖ ↑ ↗
← S 68.163383°
E108.391113°		 ← 908.78 m → S 68.163383°
E108.413086°		 →
↑
908.63 m
↓
↑
908.63 m
↓
S 68.171555°
E108.391113°		 ← 908.46 m →
825 601 m²		 S 68.171555°
E108.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801116943359375 y=0.761932373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801116943359375 × 214)
    floor (0.801116943359375 × 16384)
    floor (13125.5)     		tx = 13125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761932373046875 × 214)
    floor (0.761932373046875 × 16384)
    floor (12483.5)     		ty = 12483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13125 / 12483 ti = "14/13125/12483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13125/12483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13125 ÷ 214
    13125 ÷ 16384     		x = 0.80108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12483 ÷ 214
    12483 ÷ 16384     		y = 0.76190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80108642578125 × 2 - 1) × π
    0.6021728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89178181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.5238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64557789015729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89178181} λ = 1.89178181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64557789015729))-π/2
    2×atan(0.192901054956234)-π/2
    2×0.190560426254707-π/2
    0.381120852509414-1.57079632675     		φ = -1.18967547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89178181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18967547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.163383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13125 KachelY 12483 1.89178181 -1.18967547 108.391113 -68.163383
    Oben rechts KachelX + 1 13126 KachelY 12483 1.89216530 -1.18967547 108.413086 -68.163383
    Unten links KachelX 13125 KachelY + 1 12484 1.89178181 -1.18981809 108.391113 -68.171555
    Unten rechts KachelX + 1 13126 KachelY + 1 12484 1.89216530 -1.18981809 108.413086 -68.171555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18967547--1.18981809) × R
    0.000142619999999871 × 6371000     		dl = 908.632019999179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18967547--1.18981809) × R
    0.000142619999999871 × 6371000     		dr = 908.632019999179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89178181-1.89216530) × cos(-1.18967547) × R
    0.000383490000000153 × 0.371961136264629 × 6371000     		do = 908.780949427309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89178181-1.89216530) × cos(-1.18981809) × R
    0.000383490000000153 × 0.371828745709089 × 6371000     		du = 908.457490863958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18967547)-sin(-1.18981809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371961136264629-0.371828745709089)×R²
    abs(1.89216530-1.89178181)×0.000132390555539541×R²
    0.000383490000000153×0.000132390555539541×6371000²
    0.000383490000000153×0.000132390555539541×40589641000000     		ar = 825600.518811007m²