Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13124 / 12482
↖ ↑ ↗
← S 68.155209°
E108.369141°		 ← 909.13 m → S 68.155209°
E108.391113°		 →
↑
908.95 m
↓
↑
908.95 m
↓
S 68.163383°
E108.369141°		 ← 908.80 m →
826 206 m²		 S 68.163383°
E108.391113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801055908203125 y=0.761871337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801055908203125 × 214)
    floor (0.801055908203125 × 16384)
    floor (13124.5)     		tx = 13124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761871337890625 × 214)
    floor (0.761871337890625 × 16384)
    floor (12482.5)     		ty = 12482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13124 / 12482 ti = "14/13124/12482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13124/12482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13124 ÷ 214
    13124 ÷ 16384     		x = 0.801025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12482 ÷ 214
    12482 ÷ 16384     		y = 0.7618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801025390625 × 2 - 1) × π
    0.60205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89139831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64519439496033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89139831} λ = 1.89139831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64519439496033))-π/2
    2×atan(0.192975045770953)-π/2
    2×0.190631761604491-π/2
    0.381263523208982-1.57079632675     		φ = -1.18953280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89139831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.369141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18953280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.155209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13124 KachelY 12482 1.89139831 -1.18953280 108.369141 -68.155209
    Oben rechts KachelX + 1 13125 KachelY 12482 1.89178181 -1.18953280 108.391113 -68.155209
    Unten links KachelX 13124 KachelY + 1 12483 1.89139831 -1.18967547 108.369141 -68.163383
    Unten rechts KachelX + 1 13125 KachelY + 1 12483 1.89178181 -1.18967547 108.391113 -68.163383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18953280--1.18967547) × R
    0.000142670000000011 × 6371000     		dl = 908.950570000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18953280--1.18967547) × R
    0.000142670000000011 × 6371000     		dr = 908.950570000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89139831-1.89178181) × cos(-1.18953280) × R
    0.00038349999999987 × 0.372093565664068 × 6371000     		do = 909.128208975048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89139831-1.89178181) × cos(-1.18967547) × R
    0.00038349999999987 × 0.371961136264629 × 6371000     		du = 908.80464707063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18953280)-sin(-1.18967547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372093565664068-0.371961136264629)×R²
    abs(1.89178181-1.89139831)×0.000132429399439193×R²
    0.00038349999999987×0.000132429399439193×6371000²
    0.00038349999999987×0.000132429399439193×40589641000000     		ar = 826205.554263609m²