Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13123 / 12479
↖ ↑ ↗
← S 68.130669°
E108.347168°		 ← 910.08 m → S 68.130669°
E108.369141°		 →
↑
909.91 m
↓
↑
909.91 m
↓
S 68.138852°
E108.347168°		 ← 909.75 m →
827 936 m²		 S 68.138852°
E108.369141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800994873046875 y=0.761688232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800994873046875 × 214)
    floor (0.800994873046875 × 16384)
    floor (13123.5)     		tx = 13123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761688232421875 × 214)
    floor (0.761688232421875 × 16384)
    floor (12479.5)     		ty = 12479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13123 / 12479 ti = "14/13123/12479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13123/12479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13123 ÷ 214
    13123 ÷ 16384     		x = 0.80096435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12479 ÷ 214
    12479 ÷ 16384     		y = 0.76165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80096435546875 × 2 - 1) × π
    0.6019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89101482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.5233154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64404390936945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89101482} λ = 1.89101482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64404390936945))-π/2
    2×atan(0.193197188542038)-π/2
    2×0.190845920065819-π/2
    0.381691840131637-1.57079632675     		φ = -1.18910449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89101482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18910449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.130669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13123 KachelY 12479 1.89101482 -1.18910449 108.347168 -68.130669
    Oben rechts KachelX + 1 13124 KachelY 12479 1.89139831 -1.18910449 108.369141 -68.130669
    Unten links KachelX 13123 KachelY + 1 12480 1.89101482 -1.18924731 108.347168 -68.138852
    Unten rechts KachelX + 1 13124 KachelY + 1 12480 1.89139831 -1.18924731 108.369141 -68.138852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18910449--1.18924731) × R
    0.000142819999999988 × 6371000     		dl = 909.906219999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18910449--1.18924731) × R
    0.000142819999999988 × 6371000     		dr = 909.906219999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89101482-1.89139831) × cos(-1.18910449) × R
    0.000383489999999931 × 0.37249108681917 × 6371000     		do = 910.075732459606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89101482-1.89139831) × cos(-1.18924731) × R
    0.000383489999999931 × 0.372358540952008 × 6371000     		du = 909.751894436603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18910449)-sin(-1.18924731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37249108681917-0.372358540952008)×R²
    abs(1.89139831-1.89101482)×0.000132545867161771×R²
    0.000383489999999931×0.000132545867161771×6371000²
    0.000383489999999931×0.000132545867161771×40589641000000     		ar = 827936.239927119m²