Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1312 / 331
↖ ↑ ↗
← N 76.393312°
E 50.625000°		 ← 4 598.31 m → N 76.393312°
E 50.800782°		 →
↑
4 605.21 m
↓
↑
4 605.21 m
↓
N 76.351896°
E 50.625000°		 ← 4 612.04 m →
21 207 836 m²		 N 76.351896°
E 50.800782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640869140625 y=0.161865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640869140625 × 211)
    floor (0.640869140625 × 2048)
    floor (1312.5)     		tx = 1312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161865234375 × 211)
    floor (0.161865234375 × 2048)
    floor (331.5)     		ty = 331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1312 / 331 ti = "11/1312/331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1312/331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1312 ÷ 211
    1312 ÷ 2048     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 331 ÷ 211
    331 ÷ 2048     		y = 0.16162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16162109375 × 2 - 1) × π
    0.6767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12609737194873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12609737194873))-π/2
    2×atan(8.382090714232)-π/2
    2×1.45205557089622-π/2
    2.90411114179245-1.57079632675     		φ = 1.33331482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33331482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.393312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1312 KachelY 331 0.88357293 1.33331482 50.625000 76.393312
    Oben rechts KachelX + 1 1313 KachelY 331 0.88664090 1.33331482 50.800782 76.393312
    Unten links KachelX 1312 KachelY + 1 332 0.88357293 1.33259198 50.625000 76.351896
    Unten rechts KachelX + 1 1313 KachelY + 1 332 0.88664090 1.33259198 50.800782 76.351896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33331482-1.33259198) × R
    0.000722840000000113 × 6371000     		dl = 4605.21364000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33331482-1.33259198) × R
    0.000722840000000113 × 6371000     		dr = 4605.21364000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88664090) × cos(1.33331482) × R
    0.00306796999999992 × 0.235255567073022 × 6371000     		do = 4598.31398788194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88664090) × cos(1.33259198) × R
    0.00306796999999992 × 0.235958057996113 × 6371000     		du = 4612.0449013655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33331482)-sin(1.33259198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235255567073022-0.235958057996113)×R²
    abs(0.88664090-0.88357293)×0.00070249092309016×R²
    0.00306796999999992×0.00070249092309016×6371000²
    0.00306796999999992×0.00070249092309016×40589641000000     		ar = 21207836.1164585m²