Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1312 / 1824
↖ ↑ ↗
← N 70.140365°
W122.343750°		 ← 1 660.03 m → N 70.140365°
W122.299805°		 →
↑
1 660.66 m
↓
↑
1 660.66 m
↓
N 70.125430°
W122.343750°		 ← 1 661.22 m →
2 757 740 m²		 N 70.125430°
W122.299805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16021728515625 y=0.22271728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16021728515625 × 213)
    floor (0.16021728515625 × 8192)
    floor (1312.5)     		tx = 1312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22271728515625 × 213)
    floor (0.22271728515625 × 8192)
    floor (1824.5)     		ty = 1824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1312 / 1824 ti = "13/1312/1824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1312/1824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1312 ÷ 213
    1312 ÷ 8192     		x = 0.16015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1824 ÷ 213
    1824 ÷ 8192     		y = 0.22265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16015625 × 2 - 1) × π
    -0.6796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13530126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22265625 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13530126} λ = -2.13530126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74260217498828))-π/2
    2×atan(5.71218821322089)-π/2
    2×1.39748831093691-π/2
    2.79497662187382-1.57079632675     		φ = 1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13530126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1312 KachelY 1824 -2.13530126 1.22418030 -122.343750 70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 1313 KachelY 1824 -2.13453427 1.22418030 -122.299805 70.140365
    Unten links KachelX 1312 KachelY + 1 1825 -2.13530126 1.22391964 -122.343750 70.125430
    Unten rechts KachelX + 1 1313 KachelY + 1 1825 -2.13453427 1.22391964 -122.299805 70.125430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22418030-1.22391964) × R
    0.000260659999999913 × 6371000     		dl = 1660.66485999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22418030-1.22391964) × R
    0.000260659999999913 × 6371000     		dr = 1660.66485999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13530126--2.13453427) × cos(1.22418030) × R
    0.000766989999999801 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 1660.02502730028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13530126--2.13453427) × cos(1.22391964) × R
    0.000766989999999801 × 0.339962184529729 × 6371000     		du = 1661.22293355783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22418030)-sin(1.22391964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.339962184529729)×R²
    abs(-2.13453427--2.13530126)×0.000245146403865304×R²
    0.000766989999999801×0.000245146403865304×6371000²
    0.000766989999999801×0.000245146403865304×40589641000000     		ar = 2757739.9055855m²