Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13108 / 12186
↖ ↑ ↗
← S 65.603878°
E108.017578°		 ← 1 009.15 m → S 65.603878°
E108.039551°		 →
↑
1 008.98 m
↓
↑
1 008.98 m
↓
S 65.612952°
E108.017578°		 ← 1 008.80 m →
1 018 032 m²		 S 65.612952°
E108.039551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800079345703125 y=0.743804931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800079345703125 × 214)
    floor (0.800079345703125 × 16384)
    floor (13108.5)     		tx = 13108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743804931640625 × 214)
    floor (0.743804931640625 × 16384)
    floor (12186.5)     		ty = 12186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13108 / 12186 ti = "14/13108/12186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13108/12186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13108 ÷ 214
    13108 ÷ 16384     		x = 0.800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12186 ÷ 214
    12186 ÷ 16384     		y = 0.7437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800048828125 × 2 - 1) × π
    0.60009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.88526239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.487548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53167981666003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88526239} λ = 1.88526239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53167981666003))-π/2
    2×atan(0.216172232432006)-π/2
    2×0.212896329797392-π/2
    0.425792659594785-1.57079632675     		φ = -1.14500367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88526239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.017578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14500367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.603878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13108 KachelY 12186 1.88526239 -1.14500367 108.017578 -65.603878
    Oben rechts KachelX + 1 13109 KachelY 12186 1.88564588 -1.14500367 108.039551 -65.603878
    Unten links KachelX 13108 KachelY + 1 12187 1.88526239 -1.14516204 108.017578 -65.612952
    Unten rechts KachelX + 1 13109 KachelY + 1 12187 1.88564588 -1.14516204 108.039551 -65.612952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14500367--1.14516204) × R
    0.000158370000000074 × 6371000     		dl = 1008.97527000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14500367--1.14516204) × R
    0.000158370000000074 × 6371000     		dr = 1008.97527000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88526239-1.88564588) × cos(-1.14500367) × R
    0.000383489999999931 × 0.413042793178339 × 6371000     		do = 1009.15226119605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88526239-1.88564588) × cos(-1.14516204) × R
    0.000383489999999931 × 0.412898558600238 × 6371000     		du = 1008.7998651416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14500367)-sin(-1.14516204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413042793178339-0.412898558600238)×R²
    abs(1.88564588-1.88526239)×0.000144234578101088×R²
    0.000383489999999931×0.000144234578101088×6371000²
    0.000383489999999931×0.000144234578101088×40589641000000     		ar = 1018031.89788751m²