Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13102 / 12214
↖ ↑ ↗
← S 65.856757°
E107.885742°		 ← 999.32 m → S 65.856757°
E107.907715°		 →
↑
999.10 m
↓
↑
999.10 m
↓
S 65.865742°
E107.885742°		 ← 998.97 m →
998 248 m²		 S 65.865742°
E107.907715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799713134765625 y=0.745513916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799713134765625 × 214)
    floor (0.799713134765625 × 16384)
    floor (13102.5)     		tx = 13102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745513916015625 × 214)
    floor (0.745513916015625 × 16384)
    floor (12214.5)     		ty = 12214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13102 / 12214 ti = "14/13102/12214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13102/12214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13102 ÷ 214
    13102 ÷ 16384     		x = 0.7996826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12214 ÷ 214
    12214 ÷ 16384     		y = 0.7454833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7996826171875 × 2 - 1) × π
    0.599365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.88296142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.490966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54241768217493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88296142} λ = 1.88296142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54241768217493))-π/2
    2×atan(0.213863422103614)-π/2
    2×0.210689545784322-π/2
    0.421379091568644-1.57079632675     		φ = -1.14941724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88296142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.885742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14941724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.856757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13102 KachelY 12214 1.88296142 -1.14941724 107.885742 -65.856757
    Oben rechts KachelX + 1 13103 KachelY 12214 1.88334491 -1.14941724 107.907715 -65.856757
    Unten links KachelX 13102 KachelY + 1 12215 1.88296142 -1.14957406 107.885742 -65.865742
    Unten rechts KachelX + 1 13103 KachelY + 1 12215 1.88334491 -1.14957406 107.907715 -65.865742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14941724--1.14957406) × R
    0.000156819999999946 × 6371000     		dl = 999.100219999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14941724--1.14957406) × R
    0.000156819999999946 × 6371000     		dr = 999.100219999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88296142-1.88334491) × cos(-1.14941724) × R
    0.000383489999999931 × 0.409019293804828 × 6371000     		do = 999.32198801913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88296142-1.88334491) × cos(-1.14957406) × R
    0.000383489999999931 × 0.408876186490223 × 6371000     		du = 998.972346111532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14941724)-sin(-1.14957406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409019293804828-0.408876186490223)×R²
    abs(1.88334491-1.88296142)×0.000143107314604318×R²
    0.000383489999999931×0.000143107314604318×6371000²
    0.000383489999999931×0.000143107314604318×40589641000000     		ar = 998248.156473015m²